1. **Énoncé du problème :** On a la suite $(U_n)$ définie par $U_0=0$, $U_1=1$ et la relation de récurrence $$U_{n+2} = \frac{2}{3} U_{n+1} - \frac{1}{9} U_n.$$ On définit aussi les suites $a_n = U_{n+1} - \frac{1}{3} U_n$ et $b_n = 3^n U_n$. 2. **Calcul de $U_2$, $a_0$ et $b_0$ :** - Calcul de $U_2$ : $$U_2 = \frac{2}{3} U_1 - \frac{1}{9} U_0 = \frac{2}{3} \times 1 - \frac{1}{9} \times 0 = \frac{2}{3}.$$ - Calcul de $a_0$ : $$a_0 = U_1 - \frac{1}{3} U_0 = 1 - \frac{1}{3} \times 0 = 1.$$ - Calcul de $b_0$ : $$b_0 = 3^0 U_0 = 1 \times 0 = 0.$$ 3. **Montrer que $(a_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ :** - On calcule $a_{n+1}$ : $$a_{n+1} = U_{n+2} - \frac{1}{3} U_{n+1} = \left(\frac{2}{3} U_{n+1} - \frac{1}{9} U_n\right) - \frac{1}{3} U_{n+1} = \frac{2}{3} U_{n+1} - \frac{1}{9} U_n - \frac{1}{3} U_{n+1} = \frac{1}{3} U_{n+1} - \frac{1}{9} U_n.$$ - Or $a_n = U_{n+1} - \frac{1}{3} U_n$, donc $U_{n+1} = a_n + \frac{1}{3} U_n$. - Remplaçons dans $a_{n+1}$ : $$a_{n+1} = \frac{1}{3} (a_n + \frac{1}{3} U_n) - \frac{1}{9} U_n = \frac{1}{3} a_n + \frac{1}{9} U_n - \frac{1}{9} U_n = \frac{1}{3} a_n.$$ - Ainsi, $a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n$, donc $(a_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$. 4. **Déterminer $a_n$ en fonction de $n$ :** - Comme $(a_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et $a_0=1$, on a $$a_n = a_0 \left(\frac{1}{3}\right)^n = \left(\frac{1}{3}\right)^n.$$ 5. **Montrer que $(b_n)$ est arithmétique de raison 3 :** - Calculons $b_{n+1} - b_n$ : $$b_{n+1} - b_n = 3^{n+1} U_{n+1} - 3^n U_n = 3^n (3 U_{n+1} - U_n).$$ - Utilisons la relation de récurrence pour exprimer $U_{n+2}$ : $$U_{n+2} = \frac{2}{3} U_{n+1} - \frac{1}{9} U_n \Rightarrow 3 U_{n+2} = 2 U_{n+1} - \frac{1}{3} U_n.$$ - En remplaçant $n$ par $n-1$ : $$3 U_{n+1} = 2 U_n - \frac{1}{3} U_{n-1}.$$ - Donc $$3 U_{n+1} - U_n = 2 U_n - \frac{1}{3} U_{n-1} - U_n = U_n - \frac{1}{3} U_{n-1}.$$ - On remarque que $b_{n+1} - b_n = 3^n \left(U_n - \frac{1}{3} U_{n-1}\right) = 3^n a_{n-1}$. - Or $a_{n-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$, donc $$b_{n+1} - b_n = 3^n \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = 3^n \times 3^{-(n-1)} = 3.$$ - Ainsi, $(b_n)$ est arithmétique de raison 3. 6. **Déterminer $b_n$ en fonction de $n$ puis $U_n$ :** - Comme $(b_n)$ est arithmétique de raison 3 et $b_0=0$, on a $$b_n = b_0 + 3n = 3n.$$ - Or $b_n = 3^n U_n$, donc $$3^n U_n = 3n \Rightarrow U_n = \frac{3n}{3^n} = n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}.$$ 7. **Montrer que pour tout $n \geq 1$, $U_{n+1} \leq \frac{2}{3} U_n$ :** - On a $$U_{n+1} = (n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n, \quad U_n = n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}.$$ - Calculons $$\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{(n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n}{n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}} = \frac{n+1}{n} \times \frac{1}{3} = \frac{n+1}{3n}.$$ - On veut montrer $$U_{n+1} \leq \frac{2}{3} U_n \iff \frac{U_{n+1}}{U_n} \leq \frac{2}{3}.$$ - Or $$\frac{n+1}{3n} \leq \frac{2}{3} \iff n+1 \leq 2n \iff 1 \leq n,$$ ce qui est vrai pour tout $n \geq 1$. 8. **Montrer que pour tout $n \geq 1$, $0 \leq U_n \leq \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ :** - On a $U_n = n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \geq 0$ car $n \geq 0$. - Montrons l'inégalité supérieure par récurrence : - Pour $n=1$, $U_1 = 1 \leq \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1$ vraie. - Supposons $U_n \leq \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$. - Alors $$U_{n+1} \leq \frac{2}{3} U_n \leq \frac{2}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^n.$$ - Par conséquent, $0 \leq U_n \leq \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ pour tout $n \geq 1$. **Réponse finale :** $$\boxed{U_n = n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}}.$$