1. **Énoncé du problème :** Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n > 2$ sachant que $U_0 = 4$ et $U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{U_n + 1}$. 2. **Formule et principe de récurrence :** On veut prouver $P(n): U_n > 2$ pour tout $n$. - Initialisation : vérifier $P(0)$. - Hérédité : supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ vraie. 3. **Initialisation :** $U_0 = 4 > 2$, donc $P(0)$ est vraie. 4. **Hérédité :** Supposons $U_n > 2$. Calculons $U_{n+1}$ : $$U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{U_n + 1}$$ Puisque $U_n > 2$, alors $U_n + 1 > 3 > 0$. 5. Montrons que $U_{n+1} > 2$ : $$U_{n+1} - 2 = \frac{5U_n - 4}{U_n + 1} - 2 = \frac{5U_n - 4 - 2(U_n + 1)}{U_n + 1} = \frac{5U_n - 4 - 2U_n - 2}{U_n + 1} = \frac{3U_n - 6}{U_n + 1} = \frac{3(U_n - 2)}{U_n + 1}$$ 6. Comme $U_n > 2$ et $U_n + 1 > 0$, on a $U_{n+1} - 2 > 0$, donc $U_{n+1} > 2$. 7. **Conclusion :** Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n > 2$. **Réponse finale :** $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}, U_n > 2}$$