1. **Énoncé du problème :** Nous avons une suite géométrique dont les trois premiers termes sont $m-1$, $6$, et $m+8$. 2. **Formule de la raison d'une suite géométrique :** La raison $r$ est le rapport entre deux termes consécutifs : $$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2}$$ 3. **a) Expressions de la raison :** On a donc : $$r = \frac{6}{m-1}$$ $$r = \frac{m+8}{6}$$ 4. **b) Trouver les valeurs de $m$ :** Égalisons les deux expressions de $r$ : $$\frac{6}{m-1} = \frac{m+8}{6}$$ Multiplions en croix : $$6 \times 6 = (m-1)(m+8)$$ $$36 = m^2 + 8m - m - 8$$ $$36 = m^2 + 7m - 8$$ Réarrangeons : $$m^2 + 7m - 8 - 36 = 0$$ $$m^2 + 7m - 44 = 0$$ Résolvons cette équation quadratique avec la formule : $$m = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \times 1 \times (-44)}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 176}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{2}$$ Donc : $$m_1 = \frac{-7 + 15}{2} = 4$$ $$m_2 = \frac{-7 - 15}{2} = -11$$ 5. **c) Trouver les valeurs de la raison $r$ :** Pour $m=4$ : $$r = \frac{6}{4-1} = \frac{6}{3} = 2$$ Pour $m=-11$ : $$r = \frac{6}{-11-1} = \frac{6}{-12} = -\frac{1}{2}$$ 6. **d) Valeur de $r$ donnant une somme infinie :** La somme infinie d'une suite géométrique converge si et seulement si $|r| < 1$. Parmi les deux valeurs, seule $r = -\frac{1}{2}$ vérifie $|r| = \frac{1}{2} < 1$. Donc, la valeur $r = -\frac{1}{2}$ peut donner une somme infinie. --- 7. **Deuxième problème :** Une suite géométrique avec tous ses termes positifs, la somme des deux premiers termes est 15 et la somme infinie est 27. Formules importantes : - Somme des deux premiers termes : $$U_1 + U_1 r = 15$$ - Somme infinie (converge si $|r|<1$) : $$S_\infty = \frac{U_1}{1-r} = 27$$ 8. **Trouver $r$ et $U_1$ :** De la somme des deux premiers termes : $$U_1 (1 + r) = 15 \Rightarrow U_1 = \frac{15}{1+r}$$ De la somme infinie : $$\frac{U_1}{1-r} = 27 \Rightarrow U_1 = 27(1-r)$$ Égalisons les deux expressions de $U_1$ : $$\frac{15}{1+r} = 27(1-r)$$ Multiplions en croix : $$15 = 27(1-r)(1+r) = 27(1 - r^2)$$ Divisons par 27 : $$\frac{15}{27} = 1 - r^2$$ $$\frac{5}{9} = 1 - r^2$$ Isolons $r^2$ : $$r^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$$ Donc : $$r = \pm \frac{2}{3}$$ 9. **Choix de $r$ positif car tous les termes sont positifs :** $$r = \frac{2}{3}$$ Calculons $U_1$ : $$U_1 = 27(1 - \frac{2}{3}) = 27 \times \frac{1}{3} = 9$$ **Réponse finale :** $$r = \frac{2}{3}, \quad U_1 = 9$$