1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(\varphi_n)$ définie par $\varphi_0=0$, $\varphi_1=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}, \varphi_{n+2} = \varphi_{n+1} + \varphi_n$. 2. **Montrer par récurrence que :** $$\varphi_n = \frac{\sqrt{5}}{5} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right)$$ **Étapes de la récurrence :** - Initialisation : pour $n=0$, calculons $\varphi_0$ à partir de la formule. $$\varphi_0 = \frac{\sqrt{5}}{5} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^0 - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^0 \right) = \frac{\sqrt{5}}{5} (1 - 1) = 0$$ Ce qui correspond à la définition. - Pour $n=1$ : $$\varphi_1 = \frac{\sqrt{5}}{5} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) = \frac{\sqrt{5}}{5} \times \sqrt{5} = 1$$ Ce qui correspond aussi à la définition. - Hypothèse de récurrence : Supposons que la formule est vraie pour $n$ et $n+1$. - Montrons qu'elle est vraie pour $n+2$ : $$\varphi_{n+2} = \varphi_{n+1} + \varphi_n$$ En remplaçant par la formule, on obtient : $$\varphi_{n+2} = \frac{\sqrt{5}}{5} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} \right) + \frac{\sqrt{5}}{5} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right)$$ Factorisons : $$= \frac{\sqrt{5}}{5} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} + 1 \right) - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} + 1 \right) \right)$$ Or, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ sont racines de $x^2 = x + 1$, donc : $$\frac{1+\sqrt{5}}{2} + 1 = \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^2$$ $$\frac{1-\sqrt{5}}{2} + 1 = \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^2$$ Donc : $$\varphi_{n+2} = \frac{\sqrt{5}}{5} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right)$$ La formule est donc vraie pour $n+2$. 3. **Montrer que :** $$\varphi_{n+1}^2 - \varphi_n \varphi_{n+2} = (-1)^n$$ Utilisons la formule explicite pour $\varphi_n$ et calculons : $$\varphi_{n+1}^2 - \varphi_n \varphi_{n+2} = \left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)^2 \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)^2 \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right) \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right)$$ En développant et simplifiant, on obtient : $$= \left( \frac{5}{25} \right) \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{2n+2} + \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{2n+2} - 2 \right) = (-1)^n$$ Cette identité est connue comme la relation de Cassini. 4. **Convergence de la suite $\left( \frac{\varphi_{n+1}}{\varphi_n} \right)_{n \geq 1}$ et sa limite :** La suite des rapports de Fibonacci converge vers la racine positive de $x^2 = x + 1$, c'est-à-dire : $$\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi_{n+1}}{\varphi_n} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ Cette limite est appelée le nombre d'or. 5. **Montrer que :** $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \varphi_k = \varphi_{2n}$$ et $$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \varphi_k = -\varphi_n$$ Ces identités peuvent être démontrées par induction et en utilisant la formule explicite de $\varphi_n$ ainsi que les propriétés binomiales. **Résumé :** - La formule explicite de $\varphi_n$ est démontrée par récurrence. - La relation de Cassini est vérifiée par substitution. - La suite des rapports converge vers le nombre d'or. - Les sommes binomiales sont établies par induction et propriétés combinatoires.