1. **Énoncé du problème :** Nous avons une suite $(U_n)$ définie par $U_0 = 3$ et la relation de récurrence $U_{n+1} = 2 + 4U_n$. 2. **Calcul de $U_1$, $U_2$ et $U_3$ :** - $U_1 = 2 + 4U_0 = 2 + 4 \times 3 = 2 + 12 = 14$ - $U_2 = 2 + 4U_1 = 2 + 4 \times 14 = 2 + 56 = 58$ - $U_3 = 2 + 4U_2 = 2 + 4 \times 58 = 2 + 232 = 234$ 3. **Calcul de $U_{n+1} - U_n$ :** On a $U_{n+1} - U_n = (2 + 4U_n) - U_n = 2 + 3U_n$. 4. **Montrer que $(U_n)$ est une suite arithmétique et préciser sa raison :** Une suite arithmétique vérifie $U_{n+1} - U_n = r$ où $r$ est une constante. Ici, $U_{n+1} - U_n = 2 + 3U_n$ dépend de $U_n$, donc ce n'est pas constant. Donc, $(U_n)$ **n'est pas** une suite arithmétique. 5. **Calcul de la somme $S = U_0 + U_1 + \cdots + U_{10}$ :** Pour calculer $S$, il faut d'abord trouver une expression explicite de $U_n$. **Trouvons la forme explicite de $U_n$ :** La relation est $U_{n+1} = 2 + 4U_n$. C'est une suite définie par une relation de type affine. On cherche la solution générale de la forme $U_n = A \times 4^n + B$. Substituons dans la relation : $$U_{n+1} = 2 + 4U_n \Rightarrow A4^{n+1} + B = 2 + 4(A4^n + B) = 2 + 4A4^n + 4B$$ Égalisons les termes : $$A4^{n+1} + B = 2 + 4A4^n + 4B$$ $$A4^{n+1} = 4A4^n$$ donc les termes en $4^n$ sont égaux. Pour les constantes : $$B = 2 + 4B \Rightarrow B - 4B = 2 \Rightarrow -3B = 2 \Rightarrow B = -\frac{2}{3}$$ Donc la solution générale est : $$U_n = A4^n - \frac{2}{3}$$ Utilisons la condition initiale $U_0 = 3$ : $$U_0 = A4^0 - \frac{2}{3} = A - \frac{2}{3} = 3 \Rightarrow A = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}$$ Donc : $$U_n = \frac{11}{3}4^n - \frac{2}{3}$$ **Calcul de la somme $S$ :** $$S = \sum_{n=0}^{10} U_n = \sum_{n=0}^{10} \left( \frac{11}{3}4^n - \frac{2}{3} \right) = \frac{11}{3} \sum_{n=0}^{10} 4^n - \frac{2}{3} \sum_{n=0}^{10} 1$$ La somme des puissances de 4 est une série géométrique : $$\sum_{n=0}^{10} 4^n = \frac{4^{11} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{11} - 1}{3}$$ La somme des 11 termes de 1 est 11. Donc : $$S = \frac{11}{3} \times \frac{4^{11} - 1}{3} - \frac{2}{3} \times 11 = \frac{11(4^{11} - 1)}{9} - \frac{22}{3}$$ Pour simplifier : $$S = \frac{11(4^{11} - 1)}{9} - \frac{66}{9} = \frac{11(4^{11} - 1) - 66}{9} = \frac{11 \times 4^{11} - 11 - 66}{9} = \frac{11 \times 4^{11} - 77}{9}$$ **Réponse finale :** - $U_1 = 14$, $U_2 = 58$, $U_3 = 234$ - $(U_n)$ n'est pas une suite arithmétique. - $S = \frac{11 \times 4^{11} - 77}{9}$