1. **Énoncé du problème :** Soit $u$ une suite arithmétique définie sur $\mathbb{N}$ telle que $u(0) = 10$ et $u(8) = -14$. 2. **Formule de la suite arithmétique :** Pour une suite arithmétique, on a $u(n) = u(0) + n \times r$ où $r$ est la raison. 3. **Calcul de la raison $r$ :** On utilise $u(8) = u(0) + 8r$ donc $$-14 = 10 + 8r$$ $$8r = -14 - 10 = -24$$ $$r = \frac{-24}{8} = -3$$ 4. **Interprétation de la raison :** La raison $r = -3$ est négative, donc la suite est décroissante. 5. **Vérification des propositions :** - a) "La raison est -3" est vraie. - b) "La suite $u$ est décroissante" est vraie. 6. **Calcul de $u(20)$ :** $$u(20) = u(0) + 20r = 10 + 20 \times (-3) = 10 - 60 = -50$$ Donc $u(20) = -50$, ce qui contredit la proposition $u(20) = -40$ (fausse). 7. **Vérification de la relation de récurrence :** La relation pour une suite arithmétique est $u(n+1) = u(n) + r$. Ici, $r = -3$, donc $$u(n+1) = u(n) - 3$$ La proposition $u(n+1) = u(n) + 10$ est fausse. **Réponses finales :** - a) Vrai - b) Vrai - $u(20) = -40$ : Faux - $u(n+1) = u(n) + 10$ : Faux