1. **Énoncé du problème** : La suite $(u_n)$ est définie par $u_1 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2} - u_n$. 2. **Calcul des premiers termes** : - $u_1 = 0$ - $u_2 = \frac{1}{2} - u_1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ - $u_3 = \frac{1}{2} - u_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ - $u_4 = \frac{1}{2} - u_3 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ 3. **Conjecture** : On remarque que la suite alterne entre $0$ et $\frac{1}{2}$ selon que $n$ est impair ou pair. Donc, on conjecture que $$u_n = \begin{cases} 0 & \text{si } n \text{ est impair} \\ \frac{1}{2} & \text{si } n \text{ est pair} \end{cases}$$ 4. **Démonstration par récurrence** : - Initialisation : Pour $n=1$, $u_1=0$ ce qui correspond à la conjecture. - Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un certain $n$, c'est-à-dire $$u_n = \begin{cases} 0 & \text{si } n \text{ est impair} \\ \frac{1}{2} & \text{si } n \text{ est pair} \end{cases}$$ - Montrons que cela implique la propriété pour $n+1$ : - Si $n$ est impair, alors $u_n=0$, donc $$u_{n+1} = \frac{1}{2} - u_n = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$$ et $n+1$ est pair, ce qui correspond à la conjecture. - Si $n$ est pair, alors $u_n=\frac{1}{2}$, donc $$u_{n+1} = \frac{1}{2} - u_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$$ et $n+1$ est impair, ce qui correspond aussi à la conjecture. 5. **Conclusion** : La propriété est vraie pour tout $n$ par récurrence. 6. **Valeur de $u_{2021}$** : Comme $2021$ est impair, on a $$u_{2021} = 0$$