1. **Énoncé du problème :** Calculer $S_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2 - k}$ pour $n \geq 2$. 2. **Décomposition en éléments simples :** On cherche $A$ et $B$ tels que $$\frac{1}{(k-1)k} = \frac{A}{k-1} + \frac{B}{k}.$$ En multipliant par $(k-1)k$, on obtient $$1 = A k + B (k-1) = (A + B)k - B.$$ Pour que cette égalité soit vraie pour tout $k$, on identifie les coefficients : - Coefficient de $k$ : $A + B = 0$ - Terme constant : $-B = 1$ Donc $B = -1$ et $A = 1$. 3. **Expression de $S_n$ :** On a $$S_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2 - k} = \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right).$$ Ceci est une somme télescopique : $$S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right).$$ Tous les termes intermédiaires s'annulent, il reste $$S_n = 1 - \frac{1}{n}.$$ 4. **Calcul de la limite :** $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n} \right) = 1.$$