1. **Énoncé du problème 2** : Montrer par récurrence que $$S_n = 1\times 2 + 2\times 3 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$ pour tout entier naturel non nul $n$.\n\n2. **Initialisation** : Pour $n=1$, calculons $S_1 = 1\times 2 = 2$. Vérifions la formule : $$\frac{1\times 2\times 3}{3} = \frac{6}{3} = 2.$$ L'égalité est vraie pour $n=1$.\n\n3. **Hypothèse de récurrence** : Supposons que la formule est vraie pour un certain $k \geq 1$, c'est-à-dire $$S_k = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$$\n\n4. **Hérédité** : Montrons que la formule est vraie pour $k+1$. On a :\n$$S_{k+1} = S_k + (k+1)(k+2).$$\nEn utilisant l'hypothèse de récurrence :\n$$S_{k+1} = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2).$$\nFactorisons $(k+1)(k+2)$ :\n$$S_{k+1} = (k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3} + 1\right) = (k+1)(k+2)\frac{k+3}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}.$$\nLa formule est donc vraie pour $k+1$.\n\n5. **Conclusion** : Par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.\n\n---\n\n6. **Énoncé du problème 3** : Montrer par contraposition que pour tout $x,y \in \mathbb{R}$, $$x \neq y \implies (x-1)(y+1) \neq (x+1)(y-1).$$\n\n7. **Contraposée** : Montrons que si $$(x-1)(y+1) = (x+1)(y-1),$$ alors $x = y$.\n\n8. Développons les deux membres :\n$$(x-1)(y+1) = xy + x - y - 1,$$\n$$(x+1)(y-1) = xy - x + y - 1.$$\n\n9. Égalité donne :\n$$xy + x - y - 1 = xy - x + y - 1.$$\nSimplifions :\n$$x - y = -x + y \Rightarrow x - y + x - y = 0 \Rightarrow 2x - 2y = 0 \Rightarrow x = y.$$\n\n10. **Conclusion** : La contraposée est vraie, donc l'implication initiale est vraie.\n\n---\n\n11. **Énoncé du problème 4** : Soit $x \in \mathbb{R}^+$, montrer que $$\sqrt{2x + 2} - \sqrt{x} = 1 \iff x = 1.$$\n\n12. Partons de l'équation :\n$$\sqrt{2x + 2} - \sqrt{x} = 1.$$\nIsolons la racine :\n$$\sqrt{2x + 2} = 1 + \sqrt{x}.$$\n\n13. Élevons au carré des deux côtés :\n$$2x + 2 = (1 + \sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x.$$\n\n14. Simplifions :\n$$2x + 2 = 1 + 2\sqrt{x} + x \Rightarrow 2x + 2 - 1 - x = 2\sqrt{x} \Rightarrow x + 1 = 2\sqrt{x}.$$\n\n15. Élevons encore au carré :\n$$(x + 1)^2 = (2\sqrt{x})^2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 4x.$$\n\n16. Réarrangeons :\n$$x^2 + 2x + 1 - 4x = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0.$$\n\n17. Cette équation est un carré parfait :\n$$(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1.$$\n\n18. Vérification : Pour $x=1$,\n$$\sqrt{2\times 1 + 2} - \sqrt{1} = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1,$$ ce qui est vrai.\n\n19. **Conclusion** : L'équivalence est démontrée.