1. **Énoncé du problème :** Soient $n$ et $a$ deux entiers naturels non nuls. On pose $$S = (a + 1) + (a + 2) + \cdots + (a + n).$$ Montrer que $$S = n a + \frac{n(n+1)}{2}.$$ 2. **Développement de la somme :** On peut écrire la somme $S$ comme la somme de deux parties : $$S = \sum_{k=1}^n (a + k) = \sum_{k=1}^n a + \sum_{k=1}^n k.$$ 3. **Calcul des deux sommes :** - La somme de $a$ répété $n$ fois est : $$\sum_{k=1}^n a = n a.$$ - La somme des entiers de 1 à $n$ est une somme arithmétique classique : $$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}.$$ 4. **Conclusion :** En combinant ces résultats, on obtient : $$S = n a + \frac{n(n+1)}{2}.$$ Cette formule montre que la somme des $n$ termes consécutifs à partir de $a+1$ est égale à $n a$ plus la somme des premiers $n$ entiers. **Réponse finale :** $$\boxed{S = n a + \frac{n(n+1)}{2}}.$$