1. Énoncé du problème : On considère le polynôme $$P(z) = z^{3} - 3z^{2} + z - 3$$. Nous devons déterminer une solution imaginaire pure de l'équation $$P(z) = 0$$, puis trouver l'ensemble complet des solutions et enfin factoriser $$P(z)$$. 2. Recherche d'une solution imaginaire pure : Une solution imaginaire pure est de la forme $$z = iy$$ avec $$y \in \mathbb{R}$$ et $$y \neq 0$$. Substituons $$z = iy$$ dans $$P(z)$$ : $$P(iy) = (iy)^3 - 3(iy)^2 + iy - 3 = i^3 y^3 - 3 i^2 y^2 + i y - 3$$ Sachant que $$i^2 = -1$$ et $$i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$$, on a : $$P(iy) = -i y^3 - 3(-1) y^2 + i y - 3 = -i y^3 + 3 y^2 + i y - 3$$ Regroupons les parties réelles et imaginaires : Partie réelle : $$3 y^2 - 3$$ Partie imaginaire : $$- y^3 + y$$ multipliée par $$i$$ Pour que $$P(iy) = 0$$, il faut que la partie réelle et la partie imaginaire soient nulles : $$\begin{cases} 3 y^2 - 3 = 0 \\ - y^3 + y = 0 \end{cases}$$ 3. Résolvons le système : De la première équation : $$3 y^2 - 3 = 0 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$$ De la deuxième équation : $$- y^3 + y = 0 \implies y(- y^2 + 1) = 0$$ Les solutions sont $$y = 0$$ ou $$y^2 = 1$$ donc $$y = \pm 1$$. 4. Intersection des solutions : Les valeurs communes sont $$y = \pm 1$$ (car $$y=0$$ ne donne pas une solution imaginaire pure non nulle). 5. Vérification : Pour $$y = 1$$, $$z = i$$ est une solution imaginaire pure. 6. Trouvons l'ensemble complet des solutions de $$P(z) = 0$$ : Sachant que $$z = i$$ est une racine, on peut diviser $$P(z)$$ par $$z - i$$. Effectuons la division polynomiale : $$P(z) = (z - i) Q(z)$$ avec $$Q(z)$$ de degré 2. 7. Division : Posons $$Q(z) = a z^2 + b z + c$$. On a : $$(z - i)(a z^2 + b z + c) = a z^3 + b z^2 + c z - i a z^2 - i b z - i c$$ Regroupons par puissances : $$= a z^3 + (b - i a) z^2 + (c - i b) z - i c$$ Cela doit être égal à $$z^3 - 3 z^2 + z - 3$$. En identifiant les coefficients : $$\begin{cases} a = 1 \\ b - i a = -3 \\ c - i b = 1 \\ - i c = -3 \end{cases}$$ 8. Résolvons le système : De la dernière équation : $$- i c = -3 \implies c = \frac{3}{i} = -3 i$$ (car $$\frac{1}{i} = -i$$) De la deuxième équation : $$b - i = -3 \implies b = -3 + i$$ De la troisième équation : $$c - i b = 1 \implies -3 i - i(-3 + i) = 1$$ Calculons : $$-3 i + 3 i - i^2 = 1 \implies - i^2 = 1$$ Sachant que $$i^2 = -1$$, on a : $$-(-1) = 1$$ ce qui est vrai. Donc $$a=1$$, $$b = -3 + i$$, $$c = -3 i$$. 9. Le polynôme quotient est donc : $$Q(z) = z^2 + (-3 + i) z - 3 i$$ 10. Trouvons les racines de $$Q(z)$$ en résolvant : $$z^2 + (-3 + i) z - 3 i = 0$$ Utilisons la formule quadratique : $$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$$ avec $$a=1$$, $$b = -3 + i$$, $$c = -3 i$$. Calculons le discriminant : $$\Delta = b^2 - 4 a c = (-3 + i)^2 - 4 (1)(-3 i)$$ Calculons $$(-3 + i)^2$$ : $$(-3)^2 + 2 \cdot (-3) \cdot i + i^2 = 9 - 6 i - 1 = 8 - 6 i$$ Donc : $$\Delta = (8 - 6 i) + 12 i = 8 + 6 i$$ 11. Trouvons $$\sqrt{8 + 6 i}$$ : Posons $$\sqrt{8 + 6 i} = x + i y$$ avec $$x,y \in \mathbb{R}$$. Alors : $$x^2 - y^2 = 8$$ $$2 x y = 6 \implies x y = 3$$ De $$x y = 3$$, on a $$y = \frac{3}{x}$$. Substituons dans la première équation : $$x^2 - \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 8 \implies x^2 - \frac{9}{x^2} = 8$$ Multiplions par $$x^2$$ : $$x^4 - 9 = 8 x^2$$ Réarrangeons : $$x^4 - 8 x^2 - 9 = 0$$ Posons $$t = x^2$$, alors : $$t^2 - 8 t - 9 = 0$$ Résolvons : $$t = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$$ Donc : $$t_1 = 9, \quad t_2 = -1$$ (on prend $$t_1 = 9$$ car $$t = x^2 \geq 0$$) Donc $$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$. 12. Trouvons $$y$$ : $$y = \frac{3}{x}$$ Si $$x = 3$$, alors $$y = 1$$. Si $$x = -3$$, alors $$y = -1$$. 13. Donc : $$\sqrt{8 + 6 i} = 3 + i$$ ou $$-3 - i$$. 14. Calculons les racines : $$z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-(-3 + i) \pm (3 + i)}{2} = \frac{3 - i \pm (3 + i)}{2}$$ Cas + : $$z = \frac{3 - i + 3 + i}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Cas - : $$z = \frac{3 - i - 3 - i}{2} = \frac{-2 i}{2} = -i$$ 15. Ensemble des solutions : $$\boxed{\{ i, 3, -i \}}$$ 16. Factorisation finale : $$P(z) = (z - i)(z - 3)(z + i) = (z - 3)(z^2 + 1)$$ car $$(z - i)(z + i) = z^2 + 1$$.