1. **Énoncé du problème :** Trouver le nombre de solutions complexes de l'équation $$x^2 + a|x| + b = 0$$ où $a, b \in \mathbb{R}$. 2. **Analyse de l'équation :** L'équation contient une valeur absolue $|x|$. Pour $x \in \mathbb{C}$, la valeur absolue est définie comme $|x| = \sqrt{x\overline{x}}$, mais ici on suppose que $x$ est réel ou on traite $|x|$ comme la valeur absolue réelle. 3. **Cas 1 : $x \geq 0$** Dans ce cas, $|x| = x$. L'équation devient : $$x^2 + a x + b = 0$$ C'est une équation quadratique classique. 4. **Cas 2 : $x < 0$** Ici, $|x| = -x$. L'équation devient : $$x^2 + a(-x) + b = x^2 - a x + b = 0$$ C'est aussi une équation quadratique. 5. **Résolution des deux équations quadratiques :** - Pour $x \geq 0$ : $$x^2 + a x + b = 0$$ - Pour $x < 0$ : $$x^2 - a x + b = 0$$ 6. **Discriminants :** - $$\Delta_1 = a^2 - 4b$$ - $$\Delta_2 = (-a)^2 - 4b = a^2 - 4b$$ Les deux discriminants sont égaux. 7. **Solutions des équations :** - Pour $x \geq 0$ : $$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$$ - Pour $x < 0$ : $$x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$$ 8. **Conditions sur les solutions :** - Les solutions de la première équation doivent être $\geq 0$. - Les solutions de la deuxième équation doivent être $< 0$. 9. **Nombre total de solutions dans $\mathbb{C}$ :** - Si $\Delta = a^2 - 4b < 0$, pas de solutions réelles, mais dans $\mathbb{C}$ chaque équation a 2 solutions complexes, donc 4 solutions complexes au total. - Si $\Delta \geq 0$, on compte les solutions réelles qui satisfont les conditions de signe sur $x$. 10. **Conclusion :** - Le nombre total de solutions complexes est toujours 4 (deux solutions pour chaque équation quadratique). - Le nombre de solutions réelles dépend des signes et des valeurs de $a$ et $b$. **Réponse finale :** Le nombre de solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $$x^2 + a|x| + b = 0$$ est toujours $$4$$.