1. Énoncé des deux exercices. Je dois simplifier les fractions rationnelles données et préciser leurs conditions d'existence. 2. Exercice 17 — définition des fractions. On a $$R=\frac{2x(-x+2)}{2x(5x+25)},\quad Q=\frac{(x-2)(-x+2)}{(5x+25)(x-2)}$$ 3. Exercice 17 — conditions d'existence. Pour $R$ le dénominateur est $2x(5x+25)$, donc $x\neq 0$ et $5x+25\neq 0$ ce qui donne $x\neq -5$. Pour $Q$ le dénominateur est $(5x+25)(x-2)$, donc $x\neq -5$ et $x\neq 2$. 4. Exercice 17 — simplification de $R$. On simplifie $R=\frac{2x(-x+2)}{2x(5x+25)}$ en annulant le facteur commun $2x$. On obtient $R=\frac{-x+2}{5x+25}$. En factorisant le dénominateur $5x+25=5(x+5)$ et en réécrivant $-x+2=2-x$ on a $R=\frac{2-x}{5(x+5)}$. La forme simplifiée est $R=\frac{2-x}{5(x+5)}$ avec condition d'existence $x\neq 0$, $x\neq -5$. 5. Exercice 17 — simplification de $Q$. On simplifie $Q=\frac{(x-2)(-x+2)}{(5x+25)(x-2)}$ en annulant le facteur commun $(x-2)$, en notant que cela crée une discontinuité amovible en $x=2$. On obtient $Q=\frac{-x+2}{5x+25}$. En factorisant $5x+25=5(x+5)$ et en écrivant $-x+2=2-x$ on a $Q=\frac{2-x}{5(x+5)}$. La forme simplifiée est $Q=\frac{2-x}{5(x+5)}$ avec condition d'existence $x\neq 2$, $x\neq -5$. 6. Remarque pour l'exercice 17. Les formes simplifiées de $R$ et $Q$ coïncident algébriquement mais leurs domaines initiaux diffèrent, donc on doit conserver les restrictions respectives $x\neq 0,\,-5$ pour $R$ et $x\neq 2,\,-5$ pour $Q$. 7. Exercice 18 — énoncé. On a $$R=\frac{x^2+2x+1}{x^2-1},\quad Q=\frac{(-3x+1)(x-5)}{x^2-25}$$ 8. Exercice 18 — conditions d'existence. Pour $R$ le dénominateur $x^2-1=(x-1)(x+1)$ impose $x\neq 1$ et $x\neq -1$. Pour $Q$ le dénominateur $x^2-25=(x-5)(x+5)$ impose $x\neq 5$ et $x\neq -5$. 9. Exercice 18 — simplification de $R$. Factorisons le numérateur: $x^2+2x+1=(x+1)^2$. Donc $R=\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}$. En simplifiant un facteur $(x+1)$ on obtient $R=\frac{x+1}{x-1}$, avec conditions $x\neq 1$, $x\neq -1$. 10. Exercice 18 — simplification de $Q$. On a $Q=\frac{(-3x+1)(x-5)}{(x-5)(x+5)}$. En annulant le facteur commun $(x-5)$ on obtient $Q=\frac{-3x+1}{x+5}$. La forme simplifiée est $Q=\frac{-3x+1}{x+5}$ avec conditions $x\neq 5$, $x\neq -5$. 11. Résultats finaux. Pour l'exercice 17 on a $R=\frac{2-x}{5(x+5)}$ avec $x\neq 0,\,-5$ et $Q=\frac{2-x}{5(x+5)}$ avec $x\neq 2,\,-5$. Pour l'exercice 18 on a $R=\frac{x+1}{x-1}$ avec $x\neq 1,\,-1$ et $Q=\frac{-3x+1}{x+5}$ avec $x\neq 5,\,-5$.