1. **Énoncé du problème** : Simplifier les expressions des exercices 3.18 à 3.24, parties a) à e). 2. **Rappel des règles importantes** : - La racine $n$-ième d'un nombre $a$ est notée $\sqrt[n]{a}$. - Pour simplifier, on cherche à exprimer sous forme de puissances ou extraire les facteurs parfaits. - $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. --- ### 3.18 a) $\sqrt[6]{6}$ : Pas de simplification possible car 6 n'est pas une puissance parfaite. b) $\sqrt[7]{35}$ : 35 n'est pas une puissance parfaite, reste $\sqrt[7]{35}$. c) $\sqrt[3]{9}$ : 9 = $3^2$, donc $\sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}$. d) $\sqrt[6]{19}$ : 19 est premier, reste $\sqrt[6]{19}$. e) $\sqrt[12]{9}$ : 9 = $3^2$, donc $\sqrt[12]{3^2} = 3^{\frac{2}{12}} = 3^{\frac{1}{6}}$. --- ### 3.19 a) $\sqrt[12]{\lambda^{12}} = \lambda^{\frac{12}{12}} = \lambda$. b) $\sqrt[3]{8}$ : 8 = $2^3$, donc $\sqrt[3]{2^3} = 2$. c) $\sqrt[4]{13}$ : 13 est premier, reste $\sqrt[4]{13}$. d) $\sqrt[17]{18}$ : 18 n'est pas une puissance parfaite, reste $\sqrt[17]{18}$. e) $\sqrt[102]{277}$ : 277 est premier, reste $\sqrt[102]{277}$. --- ### 3.20 a) $\sqrt{x^6} = x^{\frac{6}{2}} = x^3$. b) $\sqrt[3]{x^3} = x^{\frac{3}{3}} = x$. c) $\sqrt{a^4} = a^{\frac{4}{2}} = a^2$. d) $\sqrt{b^5} = b^{\frac{5}{2}} = b^2 \cdot \sqrt{b}$. e) $\sqrt{x y^4} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y^4} = \sqrt{x} \cdot y^2$. --- ### 3.21 a) $\sqrt[4]{x^4} = x^{\frac{4}{4}} = x$. b) $\sqrt[5]{6}$ : 6 n'est pas une puissance parfaite, reste $\sqrt[5]{6}$. c) $\sqrt[4]{7}$ : 7 est premier, reste $\sqrt[4]{7}$. d) $\sqrt[3]{a^3 x^4} = a^{\frac{3}{3}} x^{\frac{4}{3}} = a x^{1 + \frac{1}{3}} = a x^{\frac{4}{3}}$. e) $\sqrt{152}$ : 152 = 4 * 38, donc $\sqrt{152} = \sqrt{4 \cdot 38} = 2 \sqrt{38}$. --- ### 3.22 a) $\sqrt[13]{13} = 13^{\frac{1}{13}}$ (pas de simplification). b) $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \sqrt{3}$. c) $\sqrt[3]{c^4 d^7} = c^{\frac{4}{3}} d^{\frac{7}{3}} = c^{1 + \frac{1}{3}} d^{2 + \frac{1}{3}}$. d) $\sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6 \sqrt{7}$. e) $\sqrt{412} = \sqrt{4 \cdot 103} = 2 \sqrt{103}$. --- ### 3.23 a) $\sqrt[3]{2^9} = 2^{\frac{9}{3}} = 2^3 = 8$. b) $\sqrt[5]{k^{11}} = k^{\frac{11}{5}} = k^{2 + \frac{1}{5}} = k^2 \sqrt[5]{k}$. c) $\sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8 \sqrt{5}$. d) $\sqrt{810} = \sqrt{81 \cdot 10} = 9 \sqrt{10}$. e) $\sqrt[3]{200} = \sqrt[3]{8 \cdot 25} = 2 \sqrt[3]{25}$. --- ### 3.24 a) $\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}$ (pas de simplification entière). b) $\sqrt{440} = \sqrt{4 \cdot 110} = 2 \sqrt{110}$. c) $\sqrt{675} = \sqrt{25 \cdot 27} = 5 \sqrt{27} = 5 \cdot 3 \sqrt{3} = 15 \sqrt{3}$. d) $\sqrt{1080} = \sqrt{36 \cdot 30} = 6 \sqrt{30}$. e) $\sqrt{12 p^3} = \sqrt{12} \cdot \sqrt{p^3} = 2 \sqrt{3} \cdot p^{1 + \frac{1}{2}} = 2 p \sqrt{3 p}$. --- **Réponse finale** : Les expressions sont simplifiées comme indiqué dans chaque étape.