1. **Énoncé du problème :** On a les réels suivants : $$A = \frac{2\sqrt{2} + 2}{3 - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{6} - 3}, \quad B = \frac{\sqrt{288} - \sqrt{243} + \sqrt{108} - \sqrt{18}}{15}, \quad C = \frac{\sqrt{43 - 3\sqrt{2} - 5 - \sqrt{3}}}{5}$$ On doit : 1) a) Montrer que $$A = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{3}$$ et $$B = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}$$. b) Déduire que $$A$$ et $$B$$ sont inverses. 2) a) Calculer $$(5 - 3\sqrt{2})^2$$ puis simplifier $$C$$. b) En déduire que $$B$$ et $$C$$ sont opposés. 3) Calculer : $$(A + C) \cdot B^2 - C^3$$. --- 2. **Calcul de A :** $$A = \frac{2\sqrt{2} + 2}{3 - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{6} - 3}$$ Rationnalisons chaque terme. Pour le premier terme : $$\frac{2\sqrt{2} + 2}{3 - \sqrt{3}} \times \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{2} + 2)(3 + \sqrt{3})}{(3)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{(2\sqrt{2} + 2)(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{(2\sqrt{2} + 2)(3 + \sqrt{3})}{6}$$ Développons le numérateur : $$2\sqrt{2} \times 3 = 6\sqrt{2}, \quad 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{6}, \quad 2 \times 3 = 6, \quad 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ Donc : $$6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 6 + 2\sqrt{3}$$ Le premier terme devient : $$\frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 6 + 2\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{6} + \frac{6 + 2\sqrt{3}}{6} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Pour le second terme : $$\frac{1}{\sqrt{6} - 3} \times \frac{\sqrt{6} + 3}{\sqrt{6} + 3} = \frac{\sqrt{6} + 3}{6 - 9} = \frac{\sqrt{6} + 3}{-3} = -\frac{\sqrt{6}}{3} - 1$$ Additionnons les deux termes : $$A = \left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \left(-\frac{\sqrt{6}}{3} - 1\right) = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$$ On peut écrire $$\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{3}$$ donc : $$A = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{3}$$ --- 3. **Calcul de B :** Simplifions chaque racine : $$\sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12\sqrt{2}$$ $$\sqrt{243} = \sqrt{81 \times 3} = 9\sqrt{3}$$ $$\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$$ $$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$$ Donc : $$B = \frac{12\sqrt{2} - 9\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{15} = \frac{(12\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) + (-9\sqrt{3} + 6\sqrt{3})}{15} = \frac{9\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{15}$$ Factorisons par 3 : $$B = \frac{3(3\sqrt{2} - \sqrt{3})}{15} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}$$ --- 4. **Montrer que A et B sont inverses :** Calculons $$A \times B$$ : $$\left(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{3}\right) \times \left(\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}\right) = \frac{(3\sqrt{2} + \sqrt{3})(3\sqrt{2} - \sqrt{3})}{15}$$ Le numérateur est une différence de carrés : $$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $$ avec $$a = 3\sqrt{2}$$ et $$b = \sqrt{3}$$ Donc : $$ (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 \times 2 - 3 = 18 - 3 = 15$$ Ainsi : $$A \times B = \frac{15}{15} = 1$$ Donc $$A$$ et $$B$$ sont inverses. --- 5. **Calcul de $$(5 - 3\sqrt{2})^2$$ :** Utilisons la formule $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ : $$5^2 - 2 \times 5 \times 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 25 - 30\sqrt{2} + 9 \times 2 = 25 - 30\sqrt{2} + 18 = 43 - 30\sqrt{2}$$ --- 6. **Simplification de C :** On a : $$C = \frac{\sqrt{43 - 3\sqrt{2} - 5 - \sqrt{3}}}{5} = \frac{\sqrt{(43 - 5) - 3\sqrt{2} - \sqrt{3}}}{5} = \frac{\sqrt{38 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3}}}{5}$$ On cherche à exprimer $$\sqrt{38 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3}}$$ sous la forme $$|5 - 3\sqrt{2}|$$ ou similaire. Comparons avec le carré calculé : $$ (5 - 3\sqrt{2})^2 = 43 - 30\sqrt{2} $$ Ce n'est pas égal à l'expression sous la racine. Essayons de voir si $$C$$ est égal à $$\frac{|5 - 3\sqrt{2}|}{5}$$. Calculons numériquement : $$5 - 3\sqrt{2} \approx 5 - 3 \times 1.4142 = 5 - 4.2426 = 0.7574$$ Donc : $$C \approx \frac{0.7574}{5} = 0.1515$$ Calculons numériquement l'expression sous la racine : $$38 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3} \approx 38 - 3 \times 1.4142 - 1.732 = 38 - 4.2426 - 1.732 = 32.0254$$ $$\sqrt{32.0254} \approx 5.66$$ Donc : $$C \approx \frac{5.66}{5} = 1.132$$ Ce n'est pas égal à la valeur précédente, donc il faut chercher une autre approche. Essayons de factoriser ou de simplifier autrement. On remarque que l'expression sous la racine est : $$43 - 3\sqrt{2} - 5 - \sqrt{3} = (43 - 5) - 3\sqrt{2} - \sqrt{3} = 38 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3}$$ On peut essayer d'écrire cette expression sous la forme : $$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$ avec $$a = \sqrt{m}$$ et $$b = \sqrt{n}$$, mais ici les termes sont linéaires en racines, pas carrés. Alternativement, on peut remarquer que : $$C = \frac{\sqrt{43 - 3\sqrt{2} - 5 - \sqrt{3}}}{5} = \frac{\sqrt{(43 - 5) - 3\sqrt{2} - \sqrt{3}}}{5} = \frac{\sqrt{38 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3}}}{5}$$ On peut approximer numériquement $$B$$ : $$B = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5} \approx \frac{3 \times 1.4142 - 1.732}{5} = \frac{4.2426 - 1.732}{5} = \frac{2.5106}{5} = 0.5021$$ On remarque que $$C \approx 1.132$$ et $$B \approx 0.5021$$. Calculons $$-B$$ : $$-B \approx -0.5021$$ Ce n'est pas égal à $$C$$. Revenons à la question 2b) : "En déduire que B et C sont opposés." Il y a probablement une erreur dans l'énoncé ou une autre simplification. Essayons de simplifier $$C$$ autrement. On peut essayer d'écrire $$C$$ sous la forme : $$C = \frac{\sqrt{(a - b)^2}}{5} = \frac{|a - b|}{5}$$ avec $$a$$ et $$b$$ à déterminer. Essayons avec $$a = 5$$ et $$b = 3\sqrt{2}$$ : $$ (5 - 3\sqrt{2})^2 = 43 - 30\sqrt{2} $$ Ce n'est pas égal à $$38 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3}$$. Essayons avec $$a = \sqrt{43}$$ et $$b = \sqrt{3\sqrt{2} + 5 + \sqrt{3}}$$, mais cela semble compliqué. Pour avancer, on peut conclure que la simplification de $$C$$ est difficile sans plus d'indications. --- 7. **Calcul final :** On calcule : $$(A + C) \cdot B^2 - C^3$$ Sachant que $$A = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{3}$$ et $$B = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}$$. Calculons $$B^2$$ : $$B^2 = \left(\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}\right)^2 = \frac{(3\sqrt{2} - \sqrt{3})^2}{25} = \frac{(3\sqrt{2})^2 - 2 \times 3\sqrt{2} \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{25}$$ $$= \frac{9 \times 2 - 6 \sqrt{6} + 3}{25} = \frac{18 - 6\sqrt{6} + 3}{25} = \frac{21 - 6\sqrt{6}}{25}$$ On pose $$S = A + C$$. Sans simplification explicite de $$C$$, on ne peut pas calculer exactement l'expression finale. --- **Résumé :** - $$A = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{3}$$ - $$B = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}$$ - $$A \times B = 1$$ donc $$A$$ et $$B$$ sont inverses. - $$(5 - 3\sqrt{2})^2 = 43 - 30\sqrt{2}$$ - Simplification de $$C$$ non triviale. - Relation entre $$B$$ et $$C$$ à vérifier. - Calcul final dépend de la simplification de $$C$$. --- **Fin de la résolution.**