1. **Énoncé du problème** : Soit la relation $R$ définie sur $\mathbb{N}$ telle que $xRy \iff \frac{2x + y}{3} \in \mathbb{N}$. Il s'agit de : - 1. Déterminer si $(7725, 6729)$ et $(6729, 4724)$ appartiennent à $R$. - 2. Montrer que $R$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$. - 3. Déterminer $\ell_x$, la classe d'équivalence de l'élément $x \in \mathbb{N}$. 2. **Détermination des paires** : - Pour $(7725, 6729)$, calculons $\frac{2 \times 7725 + 6729}{3} = \frac{15450 + 6729}{3} = \frac{22179}{3} = 7393 \in \mathbb{N}$. Donc $(7725, 6729) \in R$. - Pour $(6729, 4724)$, calculons $\frac{2 \times 6729 + 4724}{3} = \frac{13458 + 4724}{3} = \frac{18182}{3} = 6060.666\ldots \notin \mathbb{N}$. Donc $(6729, 4724) \notin R$. 3. **Montrer que $R$ est une relation d'équivalence** : - *Réflexivité* : Pour tout $x \in \mathbb{N}$, $\frac{2x + x}{3} = \frac{3x}{3} = x \in \mathbb{N}$, donc $xRx$. - *Symétrie* : Supposons $xRy$, donc $\frac{2x + y}{3} = k \in \mathbb{N}$. Pour montrer $yRx$, il faut vérifier $\frac{2y + x}{3} \in \mathbb{N}$. À partir de $2x + y = 3k$, isolons $y = 3k - 2x$. Calculons $\frac{2y + x}{3} = \frac{2(3k - 2x) + x}{3} = \frac{6k - 4x + x}{3} = \frac{6k - 3x}{3} = 2k - x$. Comme $k, x \in \mathbb{N}$, $2k - x$ est entier mais il faut vérifier qu'il est dans $\mathbb{N}$ (i.e. non négatif). Cependant, ce n'est pas garanti pour tous $x,y$ donc la symétrie n'est pas assurée dans tous les cas. Par conséquent, $R$ **n'est pas symétrique en général**. 4. **Conclusion sur la relation d'équivalence** : Puisque la symétrie risque de ne pas être respectée, $R$ **n'est pas nécessairement une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$**. 5. **Détermination de la classe d'équivalence $\ell_x$** : Si on suppose que $R$ est une relation, $\ell_x = \{y \in \mathbb{N} \mid \frac{2x + y}{3} \in \mathbb{N} \}$. On peut écrire $2x + y = 3k \Rightarrow y = 3k - 2x$ Donc $$\ell_x = \{ y \in \mathbb{N} \mid y \equiv -2x \pmod 3 \}$$ Ou encore, $y \equiv (-2x) \pmod 3$. Cette classe regroupe tous les $y$ tels que $y$ et $x$ satisfont la congruence via $R$. **Résumé des réponses** : - $(7725, 6729) \in R$, $(6729, 4724) \notin R$. - $R$ est réflexive mais **pas forcément symétrique**, donc pas une relation d'équivalence. - La classe d'équivalence de $x$ est $\ell_x = \{ y \in \mathbb{N} \mid y \equiv -2x \pmod 3 \}$.