1. Énoncé du problème : Deux cyclistes partent du même endroit avec un intervalle de 15 minutes. Le premier cycliste parcourt 9 km en 30 minutes. Le deuxième cycliste a pour équation de distance en fonction du temps : $$8y - 180x + 45 = 0$$ où $x$ est le temps en heures et $y$ la distance en km. On cherche le temps nécessaire au deuxième cycliste pour rattraper le premier. 2. Trouvons la vitesse du premier cycliste. Il parcourt 9 km en 30 minutes, soit 0,5 heure. $$v_1 = \frac{9}{0.5} = 18 \text{ km/h}$$ 3. La distance parcourue par le premier cycliste en fonction du temps $t$ (en heures) est donc : $$y_1 = 18t$$ 4. Pour le deuxième cycliste, l'équation donnée est : $$8y - 180x + 45 = 0$$ Isolons $y$ : $$8y = 180x - 45$$ $$y = \frac{180x - 45}{8} = 22.5x - 5.625$$ 5. Le deuxième cycliste part 15 minutes (0,25 heure) après le premier. Pour qu'il rattrape le premier, leurs distances doivent être égales, mais le temps du deuxième cycliste est $t_2 = t - 0.25$ si $t$ est le temps écoulé depuis le départ du premier. 6. Écrivons l'équation d'égalité des distances : $$y_1 = y_2$$ $$18t = 22.5(t - 0.25) - 5.625$$ 7. Développons le membre de droite : $$18t = 22.5t - 5.625 - 5.625$$ $$18t = 22.5t - 11.25$$ 8. Regroupons les termes : $$18t - 22.5t = -11.25$$ $$-4.5t = -11.25$$ 9. Résolvons pour $t$ : $$t = \frac{-11.25}{-4.5} = 2.5 \text{ heures}$$ 10. Conclusion : Le deuxième cycliste rattrape le premier après 2,5 heures depuis le départ du premier cycliste.