1. **Énoncé du problème** : Trouver les racines réelles, factoriser les polynômes $A(x)=x^5 - 3x^4 + 2x^3 - x^2 + 3x - 2$ et $B(x)=x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 12x + 8$, puis déterminer le PGCD et PPCM de $A$ et $B$. 2. **Rappel des formules et règles importantes** : - Les racines réelles d'un polynôme sont les valeurs de $x$ telles que le polynôme s'annule. - La division euclidienne de polynômes permet d'écrire $A = BQ + R$ avec $ ext{deg}(R) < ext{deg}(B)$. - Le PGCD est le plus grand polynôme divisant $A$ et $B$. - Le PPCM est donné par $\mathrm{PPCM}(A,B) = \frac{A \times B}{\mathrm{PGCD}(A,B)}$. 3. **Trouver les racines réelles de $A(x)$** : Tester les racines rationnelles possibles divisant le terme constant $-2$: $\pm1, \pm2$. - $A(1) = 1 - 3 + 2 - 1 + 3 - 2 = 0$ donc $x=1$ est racine. - $A(2) = 32 - 48 + 16 - 4 + 6 - 2 = 0$ donc $x=2$ est racine. 4. **Trouver les racines réelles de $B(x)$** : Tester $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$. - $B(1) = 1 - 3 + 6 - 12 + 8 = 0$ donc $x=1$ est racine. - $B(2) = 16 - 24 + 24 - 24 + 8 = 0$ donc $x=2$ est racine. 5. **Division euclidienne de $A$ par $(x-1)$** : - Coefficients de $A$: $[1, -3, 2, -1, 3, -2]$ - Division synthétique par $x-1$ donne quotient $Q_1(x) = x^4 - 2x^3 + 0x^2 -1x + 2$ et reste $0$. 6. **Division euclidienne de $Q_1$ par $(x-2)$** : - Coefficients $[1, -2, 0, -1, 2]$ - Division synthétique par $x-2$ donne quotient $Q_2(x) = x^3 + 0x^2 + 0x -1$ et reste $0$. 7. **Factorisation partielle de $A$ dans $\mathbb{R}[x]$** : $$A(x) = (x-1)(x-2)(x^3 - 1)$$ 8. **Factorisation de $x^3 - 1$** : Utiliser la différence de cubes : $$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$$ 9. **Factorisation complète de $A$ dans $\mathbb{R}[x]$** : $$A(x) = (x-1)^2 (x-2) (x^2 + x + 1)$$ 10. **Division euclidienne de $B$ par $(x-1)$** : - Coefficients $[1, -3, 6, -12, 8]$ - Division synthétique par $x-1$ donne quotient $Q_3(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ et reste $0$. 11. **Division euclidienne de $Q_3$ par $(x-2)$** : - Coefficients $[1, -2, 4, -8]$ - Division synthétique par $x-2$ donne quotient $Q_4(x) = x^2 + 0x + 0$ et reste $0$. 12. **Factorisation complète de $B$ dans $\mathbb{R}[x]$** : $$B(x) = (x-1)(x-2)^2 x^2$$ 13. **Factorisation dans $\mathbb{C}[x]$** : - $x^2 + x + 1$ a pour racines complexes $\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$. - Donc $A(x) = (x-1)^2 (x-2) (x - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})(x - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2})$. - $B(x) = (x-1)(x-2)^2 x^2$ (déjà factorisé en réels). 14. **Calcul du PGCD $(A,B)$** : - Facteurs communs : $(x-1)$ et $(x-2)$ - $A$ a $(x-1)^2$, $B$ a $(x-1)^1$ donc PGCD prend la plus petite puissance : $(x-1)^1$ - $A$ a $(x-2)^1$, $B$ a $(x-2)^2$ donc PGCD prend $(x-2)^1$ - $B$ a $x^2$ mais $A$ n'a pas $x$ comme facteur. - Donc $$\mathrm{PGCD}(A,B) = (x-1)(x-2)$$ 15. **Calcul du PPCM $(A,B)$** : $$\mathrm{PPCM}(A,B) = \frac{A \times B}{\mathrm{PGCD}(A,B)} = \frac{(x-1)^2 (x-2) (x^2 + x + 1) \times (x-1)(x-2)^2 x^2}{(x-1)(x-2)}$$ Simplification : $$= (x-1) (x-2)^2 x^2 (x^2 + x + 1)$$ **Réponses finales** : - Racines réelles de $A$: $1$ (multiplicité 2), $2$ (multiplicité 1) - Racines réelles de $B$: $0$ (multiplicité 2), $1$ (multiplicité 1), $2$ (multiplicité 2) - Factorisation dans $\mathbb{R}[x]$ : $$A(x) = (x-1)^2 (x-2) (x^2 + x + 1)$$ $$B(x) = x^2 (x-1) (x-2)^2$$ - Factorisation dans $\mathbb{C}[x]$ : $$A(x) = (x-1)^2 (x-2) (x - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})(x - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2})$$ - PGCD : $$\mathrm{PGCD}(A,B) = (x-1)(x-2)$$ - PPCM : $$\mathrm{PPCM}(A,B) = (x-1)(x-2)^2 x^2 (x^2 + x + 1)$$