1. **Calculer les racines carrées données :** - $\sqrt{3600} = 60$ car $60^2 = 3600$. - $\sqrt{\frac{100}{121}} = \frac{10}{11}$ car $10^2=100$ et $11^2=121$. - $\sqrt{35^2} = 35$ car la racine carrée annule le carré. - $\sqrt{\left(\frac{12}{7}\right)^2} = \frac{12}{7}$ même principe. - $\sqrt{(-5,2)^2} = 5,2$ car la racine carrée d'un carré est la valeur absolue. 2. **Simplifier les expressions avec racines :** - $\sqrt{24} \times \sqrt{6} = \sqrt{24 \times 6} = \sqrt{144} = 12$. - $5 \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{20}} = 5 \sqrt{\frac{45}{20}} = 5 \sqrt{\frac{9}{4}} = 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$. - $- \sqrt{0,003} \times \sqrt{120} = - \sqrt{0,003 \times 120} = - \sqrt{0,36} = -0,6$. - $\frac{\sqrt{7} \times \sqrt{21}}{\sqrt{14} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{147}}{\sqrt{28}} = \sqrt{\frac{147}{28}} = \sqrt{\frac{21 \times 7}{4 \times 7}} = \sqrt{\frac{21}{4}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$. - $6 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} = 6 \times 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} = 12 \times \sqrt{3^2 \times 2^2} = 12 \times 3 \times 2 = 72$. 3. **Rendre rationnels les dénominateurs :** - $A = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$. - $B = \frac{7}{5 \sqrt{7}} = \frac{7}{5 \sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{7 \sqrt{7}}{5 \times 7} = \frac{\sqrt{7}}{5}$. - $C = \frac{3}{\sqrt{7,5}} = \frac{3}{\sqrt{\frac{15}{2}}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}}} = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}} = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}}$ puis multiplier par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ donne $\frac{3 \sqrt{30}}{15} = \frac{\sqrt{30}}{5}$. - $D = \frac{4}{1 - 2 \sqrt{3}}$ multiplier par le conjugué $\frac{1 + 2 \sqrt{3}}{1 + 2 \sqrt{3}}$ donne $\frac{4(1 + 2 \sqrt{3})}{1 - (2 \sqrt{3})^2} = \frac{4 + 8 \sqrt{3}}{1 - 4 \times 3} = \frac{4 + 8 \sqrt{3}}{1 - 12} = \frac{4 + 8 \sqrt{3}}{-11} = -\frac{4 + 8 \sqrt{3}}{11}$. - $E = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ multiplier par le conjugué $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ donne $\frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ car $3-2=1$. Développons : $\sqrt{3} \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times \sqrt{2} + 1 \times \sqrt{3} + 1 \times \sqrt{2} = 3 + \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{2}$. 4. **Simplifier les expressions :** - $F = 3 \sqrt{27} - 5 \sqrt{12} + 6 \sqrt{48}$ $= 3 \times 3 \sqrt{3} - 5 \times 2 \sqrt{3} + 6 \times 4 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} = (9 - 10 + 24) \sqrt{3} = 23 \sqrt{3}$. - $J = \frac{3}{2} \sqrt{24} + 5 \sqrt{54} - 20 \sqrt{6}$ $= \frac{3}{2} \times 2 \sqrt{6} + 5 \times 3 \sqrt{6} - 20 \sqrt{6} = 3 \sqrt{6} + 15 \sqrt{6} - 20 \sqrt{6} = (3 + 15 - 20) \sqrt{6} = -2 \sqrt{6}$. 5. **Montrer que $K = 5 + 3 \sqrt{6}$ avec $K = \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2} + \frac{5}{\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{6}}{6}$** - D'abord, rationaliser $\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2}$ en multipliant par le conjugué : $$\frac{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{(\sqrt{3} + 2)^2}{3 - 4} = \frac{(\sqrt{3} + 2)^2}{-1} = - (\sqrt{3} + 2)^2$$ - Calculons $(\sqrt{3} + 2)^2 = 3 + 4 \sqrt{3} + 4 = 7 + 4 \sqrt{3}$ - Donc $\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2} = - (7 + 4 \sqrt{3}) = -7 - 4 \sqrt{3}$ - Ensuite, $K = -7 - 4 \sqrt{3} + \frac{5}{\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{6}}{6}$ - Rationaliser $\frac{5}{\sqrt{6}} = \frac{5 \sqrt{6}}{6}$ - Donc $K = -7 - 4 \sqrt{3} + \frac{5 \sqrt{6}}{6} + \frac{\sqrt{6}}{6} = -7 - 4 \sqrt{3} + \frac{6 \sqrt{6}}{6} = -7 - 4 \sqrt{3} + \sqrt{6}$ - Cette expression ne correspond pas à $5 + 3 \sqrt{6}$, il faut vérifier l'énoncé ou la méthode. 6. **Calculer $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ sachant que $\sqrt{n+1} + \sqrt{n} = 8$** - Posons $a = \sqrt{n+1}$ et $b = \sqrt{n}$. - On a $a + b = 8$. - On cherche $a - b$. - Utilisons la formule : $$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 = (n+1) - n = 1 $$ - Donc $8 \times (a - b) = 1 \Rightarrow a - b = \frac{1}{8}$. 7. **Résoudre les équations :** - $13 + x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 1 - 13 = -12$ pas de solution réelle. - $3 = \frac{x^2}{5} \Rightarrow x^2 = 15 \Rightarrow x = \pm \sqrt{15}$. - $4 x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5}$. - $\frac{\sqrt{3}}{3} + x^2 = \frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow x^2 = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{3}$. **Réponse finale :** $\sqrt{3600} = 60$ $\sqrt{\frac{100}{121}} = \frac{10}{11}$ $\sqrt{35^2} = 35$ $\sqrt{\left(\frac{12}{7}\right)^2} = \frac{12}{7}$ $\sqrt{(-5,2)^2} = 5,2$ $\sqrt{24} \times \sqrt{6} = 12$ $5 \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{20}} = 7,5$ $- \sqrt{0,003} \times \sqrt{120} = -0,6$ $\frac{\sqrt{7} \times \sqrt{21}}{\sqrt{14} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ $6 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} = 72$ $A = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ $B = \frac{\sqrt{7}}{5}$ $C = \frac{\sqrt{30}}{5}$ $D = -\frac{4 + 8 \sqrt{3}}{11}$ $E = 3 + \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{2}$ $F = 23 \sqrt{3}$ $J = -2 \sqrt{6}$ $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{8}$ Solutions des équations : - Pas de solution réelle pour $13 + x^2 = 1$ - $x = \pm \sqrt{15}$ - $x = \pm \sqrt{5}$ - $x^2 = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{3}$