1. Énoncé du problème : On considère les réels $$A = (2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})^2, \quad B = 3\sqrt{12} - \frac{1}{2} \sqrt{108} - \sqrt{8} \times \sqrt{2},$$ $$a = -3 \sqrt{3} + 4, \quad b = -2 - \sqrt{5}, \quad c = 2 + \sqrt{5}, \quad d = 3 \sqrt{3} - 4.$$ Parmi $a, b, c, d$, déterminer ceux qui sont égaux à $A$ et $B$. 2. Énoncé du problème : On donne $$x = \frac{-1}{3 - 2 \sqrt{2}}, \quad y = \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}}, \quad z = \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}}.$$ **1. Calcul de $A$ :** 1. Développons $(2 + \sqrt{5})^2$ : $$ (2 + \sqrt{5})^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}. $$ 2. Calculons $A$ : $$ A = (2 - \sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 2 \times 9 + 2 \times 4\sqrt{5} - \sqrt{5} \times 9 - \sqrt{5} \times 4\sqrt{5} = 18 + 8\sqrt{5} - 9\sqrt{5} - 4 \times 5. $$ 3. Simplifions : $$ A = 18 + (8\sqrt{5} - 9\sqrt{5}) - 20 = 18 - \sqrt{5} - 20 = -2 - \sqrt{5}. $$ 4. On remarque que $A = b$. **2. Calcul de $B$ :** 1. Simplifions chaque terme : $$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2 \sqrt{3}, $$ $$ \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6 \sqrt{3}, $$ $$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2 \sqrt{2}. $$ 2. Calculons $B$ : $$ B = 3 \times 2 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 2 \times 2 = 3 \sqrt{3} - 4. $$ 3. On remarque que $B = d$. **3. Résumé pour la question 1 :** $$ A = b = -2 - \sqrt{5}, \quad B = d = 3 \sqrt{3} - 4. $$ --- **Question 2a : Montrer que $x = -3 - 2 \sqrt{2}$ et encadrer $x$ à $10^{-1}$ près.** 1. Rationalisons le dénominateur de $x$ : $$ x = \frac{-1}{3 - 2 \sqrt{2}} \times \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}} = \frac{-1 (3 + 2 \sqrt{2})}{(3)^2 - (2 \sqrt{2})^2} = \frac{-3 - 2 \sqrt{2}}{9 - 8} = -3 - 2 \sqrt{2}. $$ 2. Pour l'encadrement, sachant $1,414 < \sqrt{2} < 1,415$ : $$ x = -3 - 2 \sqrt{2} \in [-3 - 2 \times 1,415, -3 - 2 \times 1,414] = [-3 - 2,83, -3 - 2,828] = [-5,83, -5,828]. $$ 3. Arrondi à $10^{-1}$ près : $$ x \approx -5,8. $$ --- **Question 2b : Calculer $y^2$ et $z^2$.** 1. Calcul de $y^2$ : $$ y = \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}. $$ 2. Donc $$ y^2 = \left( \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{2} = \frac{1 - 2 \sqrt{3} + 3}{2} = \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}. $$ 3. Calcul de $z^2$ : $$ z = \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}, $$ 4. Donc $$ z^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} = \frac{1 + 2 \sqrt{3} + 3}{2} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}. $$ --- **Question 2c : Déduire que** $$ \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{6}. $$ 1. Additionnons les termes à gauche : $$ (\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (-\sqrt{3} + \sqrt{3}) = 2 \sqrt{2} + 0 = 2 \sqrt{2}. $$ 2. Or, la question semble contenir une erreur typographique car $$ \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} = 2 \sqrt{2} \neq \sqrt{6}. $$ 3. Cependant, en utilisant les résultats de $y^2$ et $z^2$ : $$ y^2 + z^2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4. $$ 4. On remarque que $$ y + z = \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = 2 \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}. $$ 5. En fait, la somme $y^2 + z^2 = 4$ et le produit $yz = \left( \sqrt{\frac{1}{2}} \right)^2 - \left( \sqrt{\frac{3}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$. 6. Donc $$ (y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2 = 4 + 2 \times (-1) = 4 - 2 = 2, $$ ce qui confirme que $$ y + z = \sqrt{2}. $$ --- **Réponses finales :** - $A = b = -2 - \sqrt{5}$ - $B = d = 3 \sqrt{3} - 4$ - $x = -3 - 2 \sqrt{2} \approx -5,8$ - $y^2 = 2 - \sqrt{3}$ - $z^2 = 2 + \sqrt{3}$ - $\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} = 2 \sqrt{2} \neq \sqrt{6}$ (vérification d'une possible erreur dans l'énoncé)