1. **Énoncé du problème 1:** Nous avons l'équation complexe (E) : $$z^2 - (2 + i)z + 2i = 0.$$ On doit justifier sans calculer les racines $z'$ et $z''$ que : - $$\arg(z') + \arg(z'') \equiv \frac{\pi}{2} \;[2\pi]$$ - $$|z' \cdot z''| = 2$$ 2. **Justification des arguments et du produit des racines:** a) Par la formule des racines d'un polynôme quadratique, - Le produit des racines est donné par $$z' \cdot z'' = c = 2i.$$ Cela implique $$|z' \cdot z''| = |2i| = 2.$$ b) L'argument du produit des racines s'écrit $$\arg(z' \cdot z'') = \arg(z') + \arg(z'') \equiv \arg(2i) \pmod{2\pi}.$$ Comme $$2i$$ est sur l'axe imaginaire positif, $$\arg(2i) = \frac{\pi}{2}.$$ Ainsi, $$\arg(z') + \arg(z'') \equiv \frac{\pi}{2} \;[2\pi].$$ 3. **Problème 2:** Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z'$ et $z''$. a) L'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$ est la moyenne des affixes : $$z_I = \frac{z' + z''}{2}.$$ Or, somme des racines $z' + z'' = 2 + i$, donc $$z_I = \frac{2 + i}{2} = 1 + \frac{i}{2}.$$ b) Résolution de $(E)$ : Utilisons la formule quadratique complexe pour $$z^2 - (2 + i)z + 2i = 0.$$ Le discriminant est $$\Delta = (2 + i)^2 - 4 \times 1 \times 2i = (2 + i)^2 - 8i.$$ Calculons $(2 + i)^2$ : $$4 + 4i + i^2 = 4 + 4i -1 = 3 + 4i.$$ On a donc $$\Delta = (3 + 4i) - 8i = 3 - 4i.$$ Ensuite, calculons la racine carrée de $\Delta = 3 - 4i$ : Soit $\sqrt{3 - 4i} = a + bi$ avec $a,b \in \mathbb{R}$. On a $$a^2 - b^2 = 3 \quad \text{et} \quad 2ab = -4.$$ De $2ab = -4$, on tire $ab = -2$. Supposons $a>0$, alors $b = -2/a$. Substituer dans la première équation : $$a^2 - \left(-\frac{2}{a}\right)^2 = 3 \Rightarrow a^2 - \frac{4}{a^2} = 3.$$ Multiplions par $a^2$ : $$a^4 - 4 = 3a^2 \Rightarrow a^4 - 3a^2 - 4 = 0.$$ Posons $X = a^2$, l'équation devient : $$X^2 - 3X - 4 = 0.$$ Résolvons : $$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}.$$ Donc $X_1 = 4$, $X_2 = -1$ (non valide car $a^2\geq 0$). Ainsi $a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ ou $a = -2$, prenant $a=2$ positive. Alors $b = -2/a = -1$. On a donc $$\sqrt{3 - 4i} = 2 - i.$$ Les racines sont $$z', z'' = \frac{2 + i \pm (2 - i)}{2}.$$ Calculons chacune : - $$z' = \frac{2 + i + 2 - i}{2} = \frac{4}{2} = 2,$$ - $$z'' = \frac{2 + i - 2 + i}{2} = \frac{2i}{2} = i.$$ 4. **Problème 3:** Soit $$\theta \in [0 ; \frac{\pi}{2}]$$ et l'équation $$(E_{\theta}): z^2 - (\sin \theta + 2 + i) z + 2 \sin \theta + 2i = 0.$$ a) Montrons que $(E_{\theta})$ admet une solution réelle. Considérons $z_1 \in \mathbb{R}$ racine de $(E_{\theta})$. Le discriminant est: $$\Delta_{\theta} = (\sin \theta + 2 + i)^2 - 4(2 \sin \theta + 2i).$$ Calculons : $$ (\sin \theta + 2 + i)^2 = (\sin \theta + 2)^2 + 2i(\sin \theta + 2) + i^2 = (\sin \theta + 2)^2 + 2i(\sin \theta + 2) -1.$$ Donc $$\Delta_{\theta} = (\sin \theta + 2)^2 + 2i(\sin \theta + 2) -1 - 8 \sin \theta - 8 i.$$ Cela donne $$\Delta_{\theta} = (\sin \theta + 2)^2 -1 - 8 \sin \theta + 2i (\sin \theta + 2 -4).$$ Causez: $$2i(\sin \theta + 2 - 4) = 2i (\sin \theta -2).$$ Pour que la racine soit réelle, il faut que les racines soient réelles ou que le discriminant soit réel et positif. Ici, la partie imaginaire de $$\Delta_{\theta}$$ est nulle lorsque $$\sin \theta = 2$$, ce qui est impossible. Cependant, on peut chercher directement une racine réelle $z_1$ et vérifier : Posons $z_1 = x \in \mathbb{R}$, L'équation devient $$x^2 - (\sin \theta + 2 + i) x + 2 \sin \theta + 2i = 0.$$ Regroupons termes réels et imaginaires : $$x^2 - (\sin \theta + 2) x + 2 \sin \theta + i(-x + 2) = 0.$$ Pour que cette expression soit nulle, la partie imaginaire doit être nulle : $$-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2.$$ Substituons $x=2$ dans la partie réelle : $$2^2 - (\sin \theta + 2) \times 2 + 2 \sin \theta = 4 - 2 \sin \theta - 4 + 2 \sin \theta = 0.$$ Cette égalité est vraie, donc $z_1 = 2$ est racine réelle de $(E_{\theta})$ pour tout $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$. b) Déterminons l'autre solution $z_2$ : La somme des racines est $$z_1 + z_2 = \sin \theta + 2 + i,$$ donc $$z_2 = \sin \theta + 2 + i - z_1 = \sin \theta + 2 + i - 2 = \sin \theta + i.$$ **Résumé final :** - Pour (1) : $$\arg(z') + \arg(z'') \equiv \frac{\pi}{2}$$ et $$|z' z''| = 2.$$ - Pour (2a) : $$z_I = 1 + \frac{i}{2}.$$ - Pour (2b) : $$z' = 2$$ et $$z'' = i.$$ - Pour (3a) : $$z_1 = 2$$ racine réelle. - Pour (3b) : $$z_2 = \sin \theta + i.$$