1. **Problème A : Classer par ordre croissant les nombres** $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, et $\sqrt{2}$.\n - Calculons approximativement chaque valeur :\n - $\sqrt[3]{4} = 4^{1/3} \approx 1.587$\n - $\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \left(\frac{1}{4}\right)^{1/3} = 4^{-1/3} \approx 0.63$\n - $\sqrt{2} = 2^{1/2} \approx 1.414$\n- Ordre croissant : $\sqrt[3]{\frac{1}{4}} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{4}$.\n\n2. **Problème B : Montrer que $A = \frac{\sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{32}}{2 \sqrt[3]{2}} = 1$.**\n - Exprimons chaque terme en puissances de 2 et 3 :\n - $9 = 3^2$ donc $\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = 3^{2/3}$.\n - $32 = 2^5$ donc $\sqrt[6]{32} = 32^{1/6} = 2^{5/6}$.\n - $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$.\n- Remplaçons dans $A$ :\n $$A = \frac{3^{2/3} \times 2^{5/6}}{2 \times 2^{1/3}} = \frac{3^{2/3} \times 2^{5/6}}{2^{1 + 1/3}} = \frac{3^{2/3} \times 2^{5/6}}{2^{4/3}}.$$\n- Simplifions la puissance de 2 au dénominateur :\n $$2^{4/3} = 2^{8/6}.$$\n- Donc :\n $$A = 3^{2/3} \times 2^{5/6 - 8/6} = 3^{2/3} \times 2^{-3/6} = 3^{2/3} \times 2^{-1/2}.$$\n- Or $3^{2/3} = (3^{1/3})^2$ et $2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.\n- Calculons $3^{1/3}$ et $\sqrt{2}$ approximativement :\n - $3^{1/3} \approx 1.442$ donc $3^{2/3} \approx 1.442^2 = 2.08$.\n - $\sqrt{2} \approx 1.414$.\n- Donc $A \approx \frac{2.08}{1.414} \approx 1.47$, ce qui n'est pas égal à 1.\n- Reprenons la simplification en factorisant différemment :\n $$A = \frac{3^{2/3} \times 2^{5/6}}{2^{4/3}} = 3^{2/3} \times 2^{5/6 - 4/3} = 3^{2/3} \times 2^{5/6 - 8/6} = 3^{2/3} \times 2^{-3/6} = 3^{2/3} \times 2^{-1/2}.$$\n- Pour que $A=1$, il faut que $3^{2/3} = 2^{1/2}$, or ce n'est pas vrai.\n- Vérifions l'énoncé : $A = \frac{\sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{32}}{2 \sqrt[3]{2}}$.\n- Remarquons que $2 \sqrt[3]{2} = 2^{1} \times 2^{1/3} = 2^{4/3}$.\n- Donc $A = \frac{3^{2/3} \times 2^{5/6}}{2^{4/3}} = 3^{2/3} \times 2^{5/6 - 4/3} = 3^{2/3} \times 2^{-1/2}$.\n- Donc $A = \frac{3^{2/3}}{\sqrt{2}}$.\n- Calculons $3^{2/3} = (3^{1/3})^2 = (\sqrt[3]{3})^2$.\n- $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$, donc $3^{2/3} \approx 2.08$.\n- $\sqrt{2} \approx 1.414$.\n- $A \approx \frac{2.08}{1.414} \approx 1.47 \neq 1$.\n- Conclusion : $A \neq 1$ sauf erreur dans l'énoncé.\n\n3. **Problème C : Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations**\n - (i) $(2 - x)^3 = 27$\n - Prenons la racine cubique des deux côtés : $2 - x = 3$.\n - Donc $x = 2 - 3 = -1$.\n- (ii) $8x^4 + 2x^3 - 3 = 0$\n - Cette équation est polynomiale quartique.\n - Cherchons des racines rationnelles possibles avec la règle de Ruffini : diviseurs de 3 sur diviseurs de 8.\n - Testons $x=\frac{1}{2}$ : $8(\frac{1}{2})^4 + 2(\frac{1}{2})^3 - 3 = 8 \times \frac{1}{16} + 2 \times \frac{1}{8} - 3 = 0.5 + 0.25 - 3 = -2.25 \neq 0$.\n - Testons $x=1$ : $8 + 2 - 3 = 7 \neq 0$.\n - Testons $x=-1$ : $8 + (-2) - 3 = 3 \neq 0$.\n - Testons $x=\frac{1}{4}$ : $8(\frac{1}{4})^4 + 2(\frac{1}{4})^3 - 3 = 8 \times \frac{1}{256} + 2 \times \frac{1}{64} - 3 = 0.03125 + 0.03125 - 3 = -2.9375 \neq 0$.\n - Pas de racines rationnelles simples, résolution numérique ou factorisation complexe nécessaire.\n- (iii) $\sqrt[3]{x+1} < 1$\n - Élevons les deux côtés au cube (fonction strictement croissante) : $x + 1 < 1^3 = 1$.\n - Donc $x < 0$.\n- (iv) $1 - x^3 > 0$\n - $1 > x^3$ donc $x^3 < 1$.\n - Comme la fonction cube est strictement croissante, $x < 1$.\n\n4. **Problème D : Calculer les limites**\n - (i) $\lim_{x \to +\infty} (-3x^2 + x + 4)$\n - Le terme dominant est $-3x^2$, donc la limite est $-\infty$.\n- (ii) $\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + 2x}{1 + x}$\n - Divisons numérateur et dénominateur par $x$ : $\frac{\frac{1}{x} + 2}{\frac{1}{x} + 1} \to \frac{0 + 2}{0 + 1} = 2$.\n- (iii) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{8x}$\n - Utilisons $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$.\n - $\frac{\sin(2x)}{8x} = \frac{\sin(2x)}{2x} \times \frac{2x}{8x} = \frac{\sin(2x)}{2x} \times \frac{1}{4} \to 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.\n- (iv) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+1} - 1}{x}$\n - Utilisons la dérivée de $f(x) = \sqrt[3]{x+1}$ en 0 : $f'(0) = \frac{1}{3} (1)^{-2/3} = \frac{1}{3}$.\n - Donc la limite est $\frac{1}{3}$.\n- (v) $\lim_{x \to 1^-} \frac{2 + x + x^2}{1 - x}$\n - Au voisinage de 1 par la gauche, $1 - x \to 0^+$.\n - Numérateur en $x=1$ : $2 + 1 + 1 = 4$.\n - Donc la limite tend vers $+\infty$.\n- (vi) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right)$\n - $= \lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{x^2}$.\n - Pour $x \to 0^+$, $x - 1 \to -1$, $x^2 \to 0^+$ donc limite $-\infty$.\n - Pour $x \to 0^-$, $x - 1 \to -1$, $x^2 \to 0^+$ donc limite $-\infty$.\n - Limite n'existe pas finie, tend vers $-\infty$.\n- (vii) $\lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x})$\n - $x$ domine $\sqrt{x}$, donc limite $+\infty$.\n- (viii) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$\n - Utilisons les développements limités : $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$, $\sin x \sim x$.\n - Donc limite $\frac{x^2/2}{x} = \frac{x}{2} \to 0$.