1. **Énoncé du problème :** Montrer que $\left(\sqrt{\frac{5}{3}} - \sqrt{\frac{3}{5}}\right)^2 \in \mathbb{Q}$. 2. **Formule utilisée :** Pour tout $a,b \in \mathbb{R}$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. 3. **Calcul intermédiaire :** - Posons $a = \sqrt{\frac{5}{3}}$ et $b = \sqrt{\frac{3}{5}}$. - Calculons $a^2 = \frac{5}{3}$. - Calculons $b^2 = \frac{3}{5}$. - Calculons $2ab = 2 \times \sqrt{\frac{5}{3}} \times \sqrt{\frac{3}{5}} = 2 \times \sqrt{\frac{5}{3} \times \frac{3}{5}} = 2 \times \sqrt{1} = 2$. 4. **Simplification :** $$\left(\sqrt{\frac{5}{3}} - \sqrt{\frac{3}{5}}\right)^2 = \frac{5}{3} - 2 + \frac{3}{5} = \left(\frac{5}{3} + \frac{3}{5}\right) - 2$$ 5. **Addition des fractions :** $$\frac{5}{3} + \frac{3}{5} = \frac{5 \times 5}{3 \times 5} + \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{25}{15} + \frac{9}{15} = \frac{34}{15}$$ 6. **Calcul final :** $$\frac{34}{15} - 2 = \frac{34}{15} - \frac{30}{15} = \frac{4}{15}$$ 7. **Conclusion :** $\frac{4}{15}$ est un nombre rationnel, donc $$\left(\sqrt{\frac{5}{3}} - \sqrt{\frac{3}{5}}\right)^2 \in \mathbb{Q}$$. **Réponse finale :** $\boxed{\frac{4}{15}}$