1. **Énoncé du problème :** Écrire chaque expression sous forme d'une seule puissance. 2. **Expression A :** $$A = 16^{-5} \times \sqrt{2}^2 \times (2^4)^{-7}$$ - Rappel : $16 = 2^4$ et $\sqrt{2}^2 = 2^{\frac{1}{2} \times 2} = 2^1$ - Donc, $$16^{-5} = (2^4)^{-5} = 2^{4 \times (-5)} = 2^{-20}$$ - $$\sqrt{2}^2 = 2^1$$ - $$(2^4)^{-7} = 2^{4 \times (-7)} = 2^{-28}$$ - En multipliant les puissances de même base : $$A = 2^{-20} \times 2^1 \times 2^{-28} = 2^{-20 + 1 - 28} = 2^{-47}$$ 3. **Expression B :** $$B = \frac{a^{-8} \times a^{-12}}{(a^{-4})^5 \times (a^{-5})^{-1}}$$ - Simplifions le numérateur : $$a^{-8} \times a^{-12} = a^{-8 + (-12)} = a^{-20}$$ - Simplifions le dénominateur : $$(a^{-4})^5 = a^{-4 \times 5} = a^{-20}$$ $$(a^{-5})^{-1} = a^{-5 \times (-1)} = a^5$$ - Donc, le dénominateur est : $$a^{-20} \times a^5 = a^{-20 + 5} = a^{-15}$$ - Division des puissances de même base : $$B = \frac{a^{-20}}{a^{-15}} = a^{-20 - (-15)} = a^{-5}$$ 4. **Expression C :** $$C = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^5 \times \left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^5 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\right)^{-8}$$ - Réécrivons les racines en puissances : $$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$$ - Donc : $$\left(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{3}\right)^5 = \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3^5}$$ $$\left(\frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}\right)^5 = \frac{3^5}{7^{\frac{5}{2}}}$$ $$\left(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}\right)^{-8} = \left(2^{\frac{1}{2}} \times 7^{-\frac{1}{2}}\right)^{-8} = 2^{-4} \times 7^{4}$$ - Multiplions toutes les parties : $$C = \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3^5} \times \frac{3^5}{7^{\frac{5}{2}}} \times 2^{-4} \times 7^{4} = 2^{\frac{5}{2} - 4} \times 3^{5 - 5} \times 7^{-\frac{5}{2} + 4}$$ - Simplifions les exposants : $$2^{\frac{5}{2} - 4} = 2^{-\frac{3}{2}}, \quad 3^0 = 1, \quad 7^{-\frac{5}{2} + 4} = 7^{\frac{3}{2}}$$ - Donc : $$C = 2^{-\frac{3}{2}} \times 7^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{3}{2}}$$ 5. **Expression D :** $$D = 13^{-8} \times \sqrt{13}^7 \times \sqrt{13}^{-15}$$ - Réécrivons les racines : $$\sqrt{13} = 13^{\frac{1}{2}}$$ - Donc : $$\sqrt{13}^7 = 13^{\frac{7}{2}}, \quad \sqrt{13}^{-15} = 13^{-\frac{15}{2}}$$ - Multiplions les puissances de même base : $$D = 13^{-8} \times 13^{\frac{7}{2}} \times 13^{-\frac{15}{2}} = 13^{-8 + \frac{7}{2} - \frac{15}{2}} = 13^{-8 - 4} = 13^{-12}$$ **Réponses finales :** - $$A = 2^{-47}$$ - $$B = a^{-5}$$ - $$C = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{3}{2}}$$ - $$D = 13^{-12}$$