1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $4^n \in \mathbb{N}$. 2. **Formule et règles importantes :** La puissance d'un entier naturel est toujours un entier naturel. Ici, $4$ est un entier naturel. 3. **Travail intermédiaire :** - $4 = 2^2$ est un entier naturel. - Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$. - Puisque $2^{2n}$ est une puissance d'un entier naturel, c'est aussi un entier naturel. 4. **Conclusion :** Donc, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $4^n \in \mathbb{N}$. --- 1. **Énoncé :** Soit $a \neq 0$ un réel. On pose $A = a + \frac{1}{a}$. Calculer $a^2 + \frac{1}{a^2}$ et $a^3 + \frac{1}{a^3}$ en fonction de $A$. 2. **Formules utilisées :** - $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ - $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ 3. **Calcul de $a^2 + \frac{1}{a^2}$ :** - $A = a + \frac{1}{a}$ - $A^2 = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$ - Donc, $a^2 + \frac{1}{a^2} = A^2 - 2$ 4. **Calcul de $a^3 + \frac{1}{a^3}$ :** - $a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 - 3a \cdot \frac{1}{a} \left(a + \frac{1}{a}\right)$ - $= A^3 - 3A$ --- 1. **Énoncé :** Factoriser $(x - 1)^3 + 1$. 2. **Rappel :** $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ 3. **Application :** - Posons $a = x - 1$ et $b = 1$ - Alors, $(x - 1)^3 + 1 = a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ - $= (x - 1 + 1)((x - 1)^2 - (x - 1) \cdot 1 + 1^2)$ - $= x ( (x - 1)^2 - (x - 1) + 1 )$ - Calculons l'expression entre parenthèses : - $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ - Donc, $x^2 - 2x + 1 - x + 1 + 1 = x^2 - 3x + 3$ - Finalement, la factorisation est : $$ (x - 1)^3 + 1 = x (x^2 - 3x + 3) $$