1. **Énoncé du problème :** On considère les nombres réels $x = \sqrt{7} - 12\sqrt{2}$ et $y = \sqrt{17} + 12\sqrt{2}$. 2. **Montrer que $xy = 1$ :** Utilisons la multiplication : $$xy = (\sqrt{7} - 12\sqrt{2})(\sqrt{17} + 12\sqrt{2})$$ Développons en utilisant la distributivité : $$xy = \sqrt{7} \times \sqrt{17} + \sqrt{7} \times 12\sqrt{2} - 12\sqrt{2} \times \sqrt{17} - 12\sqrt{2} \times 12\sqrt{2}$$ Calculons chaque terme : - $\sqrt{7} \times \sqrt{17} = \sqrt{119}$ - $\sqrt{7} \times 12\sqrt{2} = 12 \sqrt{14}$ - $-12\sqrt{2} \times \sqrt{17} = -12 \sqrt{34}$ - $-12\sqrt{2} \times 12\sqrt{2} = -144 \times 2 = -288$ Donc : $$xy = \sqrt{119} + 12 \sqrt{14} - 12 \sqrt{34} - 288$$ 3. **Simplification :** On remarque que $\sqrt{119} = \sqrt{7 \times 17}$, $\sqrt{14} = \sqrt{7 \times 2}$, $\sqrt{34} = \sqrt{17 \times 2}$. On peut regrouper les termes sous forme de $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ en remarquant que $x$ et $y$ sont conjugués au sens de nombres de la forme $a + b$ et $a - b$. En fait, calculons $x y$ directement en utilisant la formule : $$xy = (\sqrt{7} - 12\sqrt{2})(\sqrt{17} + 12\sqrt{2}) = (\sqrt{7} \times \sqrt{17}) + (\sqrt{7} \times 12\sqrt{2}) - (12\sqrt{2} \times \sqrt{17}) - (12\sqrt{2} \times 12\sqrt{2})$$ Calculons les carrés : $$x y = \sqrt{119} + 12 \sqrt{14} - 12 \sqrt{34} - 288$$ Mais en fait, on peut remarquer que $x$ et $y$ sont conjugués dans un corps quadratique, donc leur produit est la différence des carrés : $$xy = (\sqrt{7})(\sqrt{17}) - (12\sqrt{2})^2 = \sqrt{119} - 144 \times 2 = \sqrt{119} - 288$$ Cette expression semble incorrecte, donc reprenons autrement. 4. **Recalculons $xy$ en développant soigneusement :** $$xy = (\sqrt{7})(\sqrt{17}) + (\sqrt{7})(12\sqrt{2}) - (12\sqrt{2})(\sqrt{17}) - (12\sqrt{2})(12\sqrt{2})$$ $$= \sqrt{119} + 12 \sqrt{14} - 12 \sqrt{34} - 144 \times 2$$ $$= \sqrt{119} + 12 \sqrt{14} - 12 \sqrt{34} - 288$$ 5. **Vérification numérique :** - $\sqrt{119} \approx 10.9087$ - $12 \sqrt{14} \approx 12 \times 3.7417 = 44.9004$ - $12 \sqrt{34} \approx 12 \times 5.8309 = 69.9708$ Donc : $$xy \approx 10.9087 + 44.9004 - 69.9708 - 288 = (55.8091 - 69.9708) - 288 = -14.1617 - 288 = -302.1617$$ Ce qui est faux, donc il y a une erreur dans l'énoncé ou dans la lecture. 6. **Hypothèse :** Peut-être que $x = \sqrt{7} - 12\sqrt{2}$ est une erreur de signe, ou $y = \sqrt{17} + 12\sqrt{2}$ est le conjugué. 7. **Essayons $x = \sqrt{7} - 12\sqrt{2}$ et $y = \sqrt{17} - 12\sqrt{2}$ :** $$xy = (\sqrt{7} - 12\sqrt{2})(\sqrt{17} - 12\sqrt{2})$$ $$= \sqrt{7} \times \sqrt{17} - \sqrt{7} \times 12\sqrt{2} - 12\sqrt{2} \times \sqrt{17} + (12\sqrt{2})^2$$ $$= \sqrt{119} - 12 \sqrt{14} - 12 \sqrt{34} + 144 \times 2$$ $$= \sqrt{119} - 12 \sqrt{14} - 12 \sqrt{34} + 288$$ Calculons numériquement : $$10.9087 - 44.9004 - 69.9708 + 288 = (10.9087 - 114.8712) + 288 = -103.9625 + 288 = 184.0375$$ Toujours pas 1. 8. **Conclusion :** L'énoncé semble demander de montrer que $xy = 1$ pour $x = \sqrt{7} - 12\sqrt{2}$ et $y = \sqrt{17} + 12\sqrt{2}$. Calculons $x y$ en utilisant la conjugaison : Posons $x = a - b$ et $y = c + b$ avec $a = \sqrt{7}$, $b = 12\sqrt{2}$, $c = \sqrt{17}$. Alors : $$xy = (a - b)(c + b) = ac + ab - bc - b^2$$ Calculons chaque terme : - $ac = \sqrt{7} \times \sqrt{17} = \sqrt{119}$ - $ab = \sqrt{7} \times 12\sqrt{2} = 12 \sqrt{14}$ - $bc = 12\sqrt{2} \times \sqrt{17} = 12 \sqrt{34}$ - $b^2 = (12\sqrt{2})^2 = 144 \times 2 = 288$ Donc : $$xy = \sqrt{119} + 12 \sqrt{14} - 12 \sqrt{34} - 288$$ 9. **Vérifions si $\sqrt{119} + 12 \sqrt{14} - 12 \sqrt{34} = 289$ pour que $xy=1$ :** Calculons numériquement : $$10.9087 + 44.9004 - 69.9708 = -14.1617$$ Donc $xy = -14.1617 - 288 = -302.1617$, ce qui est faux. 10. **Hypothèse alternative :** Peut-être que $x = \sqrt{7} - 12\sqrt{2}$ et $y = \sqrt{17} + 12\sqrt{2}$ sont des racines d'une équation telle que $xy=1$. 11. **Calculons $x y$ en utilisant la conjugaison :** Posons $x = \sqrt{7} - 12\sqrt{2}$ et $y = \sqrt{7} + 12\sqrt{2}$ (conjugué de $x$). Alors : $$xy = (\sqrt{7})^2 - (12\sqrt{2})^2 = 7 - 144 \times 2 = 7 - 288 = -281$$ Non égal à 1. 12. **Conclusion :** L'énoncé semble incorrect ou mal copié. --- **Vu la complexité et incohérence apparente, je vais résoudre la première question a) telle que demandée, en supposant que $x = \sqrt{7} - 12\sqrt{2}$ et $y = \sqrt{17} + 12\sqrt{2}$, et montrer que $xy=1$ est faux, donc on peut vérifier si $xy=1$ est vrai ou non.** **Réponse finale :** $$xy = \sqrt{119} + 12 \sqrt{14} - 12 \sqrt{34} - 288 \neq 1$$ Donc $xy \neq 1$. --- **Slug:** "produit xy" **Sujet:** "algèbre" **Desmos:** {"latex":"y=x","features":{"intercepts":true,"extrema":true}} **q_count:** 10