**Exercice 1 : Calcul du produit scalaire et de l'angle** 1. On considère les points $A(0;4)$, $B(6;3)$, $C(-5;-2)$. Calculons les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $$\overrightarrow{AB} = (6-0, 3-4) = (6, -1)$$ $$\overrightarrow{AC} = (-5-0, -2-4) = (-5, -6)$$ Calcul du produit scalaire : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \times (-5) + (-1) \times (-6) = -30 + 6 = -24$$ Longueurs : $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{6^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$$ $$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$$ 2. L'angle $\widehat{BAC}$ se calcule avec la formule : $$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \times |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-24}{\sqrt{37} \times \sqrt{61}} = \frac{-24}{\sqrt{2257}}$$ Calcul numérique : $$\sqrt{2257} \approx 47.52$$ $$\cos(\widehat{BAC}) \approx -24 / 47.52 \approx -0.505$$ Donc $$\widehat{BAC} = \arccos(-0.505) \approx 120.3^\circ$$ --- **Exercice 2 : Calculs dans un rectangle** On considère le rectangle $ABCD$ avec $AB=20$, $AD=12$, et $E$ milieu de $AB$. a) $AD$ est donné comme 12. Calcul de $DE$ sachant que $E$ est milieu de $AB$. Coordonnées simplifiées si $A$ est en $(0,0)$, $B$ en $(20,0)$, $D$ en $(0,12)$. Alors $E$ est milieu de $AB$ : $$E = \left(\frac{0+20}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (10,0)$$ Donc : $$\overrightarrow{DE} = (10-0, 0-12) = (10, -12)$$ Longueur $DE$ : $$|\overrightarrow{DE}| = \sqrt{10^2 + (-12)^2} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$$ b) Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DE}$. $C$ est en $(20,12)$ donc : $$\overrightarrow{AC} = (20-0, 12-0) = (20, 12)$$ Donc $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DE} = 20 \times 10 + 12 \times (-12) = 200 -144 = 56$$ c) Calcul de l'angle entre $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DE}$ : $$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{DE}|}$$ Calcul des normes : $$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{20^2 + 12^2} = \sqrt{400 + 144} = \sqrt{544} = 4\sqrt{34}$$ $$|\overrightarrow{DE}| = 2\sqrt{61}$$ Donc $$\cos(\theta) = \frac{56}{4\sqrt{34} \times 2\sqrt{61}} = \frac{56}{8 \sqrt{2074}} = \frac{7}{\sqrt{2074}}$$ Calcul numérique : $$\sqrt{2074} \approx 45.55$$ $$\cos(\theta) \approx 7 / 45.55 \approx 0.1537$$ Angle : $$\theta = \arccos(0.1537) \approx 81.15^\circ$$ --- **Exercice 3 : Produits scalaires dans les figures** Rectangles et triangles avec $AB=5$, $BC=3$, triangle $ABD$ équilatéral, triangle $BCE$ rectangle isocèle en $C$, et $H$ milieu de $AB$. Soit les vecteurs suivant avec origine en $B$ sauf mention contraire. (a) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ : $H$ milieu de $AB$ donc $\overrightarrow{AH} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$. Donc $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AB} \cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}|^2 = \frac{1}{2} \times 5^2 = \frac{25}{2} = 12.5$$ (b) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BE}$. Dans un triangle rectangle isocèle en $C$, $E$ est sommet de $\triangle BCE$. Le vecteur $\overrightarrow{BE}$ est combinaison de $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CE}$. La longueur $BC=3$. Donc produit scalaire $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BE} = |\overrightarrow{BC}| \times |\overrightarrow{BE}| \times \cos(\alpha)$. Comme aucun angle donné, cette question nécessite les coordonnées précises pour calcul explicite ou enoncer que plus d'informations sont nécessaires. (c) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF}$. $F$ est troisième sommet du triangle équilatéral $ABD$ (avec $AB=AD=BD=5$). Calculer les coordonnées de $F$ puis le produit scalaire. On peut placer $A = (0,0)$, $B = (5,0)$ et $D = \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$. Le point $F$ est le sommet opposé au base $AB$ dans le triangle équilatéral, donc $F = D$. Le vecteur $\overrightarrow{AB} = (5,0)$, $\overrightarrow{AF} = \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$. Calcul produit scalaire : $$5 \times \frac{5}{2} + 0 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$$ (d) $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CE}$. Plus d'informations sur $E$ manquent pour calcul précis, donc réponse non calculable avec données fournies. (e) $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BA}$. $E$ milieu de $AB$, donc en coordonnées $E=\left(\frac{A_x+B_x}{2}, \frac{A_y+B_y}{2}\right)$. Donc $$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} / 2$$ D'où $$\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{BA}|^2 = \frac{1}{2} \times 5^2 = 12.5$$