1. Énonçons le problème : On a trois vecteurs $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ dans $\mathbb{R}^2$ avec $\vec{a} \neq \vec{0}$ et $\vec{b} \neq \vec{c}$. La question est de savoir si on peut affirmer nécessairement que $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq \vec{a} \cdot \vec{c}$. 2. Rappelons la définition du produit scalaire : pour deux vecteurs $\vec{u} = (u_1,u_2)$ et $\vec{v} = (v_1,v_2)$, on a $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$. 3. Considérons l'expression $\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c})$. 4. Si $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$, alors $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$. 5. Or, $\vec{b} - \vec{c} \neq \vec{0}$ car $\vec{b} \neq \vec{c}$. Donc $\vec{b} - \vec{c}$ est un vecteur non nul. 6. Le produit scalaire $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ signifie que $\vec{a}$ est orthogonal à $\vec{b} - \vec{c}$. 7. Il est donc possible que $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ même si $\vec{b} \neq \vec{c}$, à condition que $\vec{a}$ soit orthogonal à $\vec{b} - \vec{c}$. 8. Conclusion : On ne peut pas dire nécessairement que $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq \vec{a} \cdot \vec{c}$ si $\vec{a} \neq \vec{0}$ et $\vec{b} \neq \vec{c}$. Il existe des cas où les produits scalaires sont égaux malgré $\vec{b} \neq \vec{c}$.