1. **Énoncé du problème :** L'oncle a vendu des fruits à trois clientes à des prix unitaires inconnus. On connaît les quantités achetées et le total payé par chaque cliente. Il faut déterminer les prix unitaires des avocats, papayes et mangues greffées, puis vérifier si la vente totale de la production annuelle à ces prix couvre les frais de production. 2. **Formulation mathématique :** Soit $x$ le prix unitaire d'un avocat, $y$ celui d'une papaye, et $z$ celui d'une mangue greffée. Les données donnent le système : $$\begin{cases} 2x + 5y + 4z = 620 \\ 3x + 5y + z = 530 \\ 2x + 6y + 5z = 720 \end{cases}$$ 3. **Résolution du système :** Soustrayons la deuxième équation de la première : $$ (2x + 5y + 4z) - (3x + 5y + z) = 620 - 530 $$ $$ -x + 3z = 90 \Rightarrow x = 3z - 90 $$ Soustrayons la première de la troisième : $$ (2x + 6y + 5z) - (2x + 5y + 4z) = 720 - 620 $$ $$ y + z = 100 \Rightarrow y = 100 - z $$ Substituons $x$ et $y$ dans la deuxième équation : $$ 3(3z - 90) + 5(100 - z) + z = 530 $$ $$ 9z - 270 + 500 - 5z + z = 530 $$ $$ (9z - 5z + z) + (500 - 270) = 530 $$ $$ 5z + 230 = 530 $$ $$ 5z = 300 \Rightarrow z = 60 $$ Calculons $x$ et $y$ : $$ x = 3(60) - 90 = 180 - 90 = 90 $$ $$ y = 100 - 60 = 40 $$ 4. **Interprétation :** Les prix unitaires sont : - Avocat : $90$ - Papaye : $40$ - Mangue greffée : $60$ 5. **Calcul du chiffre d'affaires total attendu :** $$ CA = 30000 \times 90 + 25000 \times 40 + 25000 \times 60 $$ $$ CA = 2,700,000 + 1,000,000 + 1,500,000 = 5,200,000 $$ 6. **Analyse du bénéfice :** Les frais de production sont $5,375,235$. Le chiffre d'affaires est $5,200,000$. Le bénéfice est : $$ Bénéfice = CA - Frais = 5,200,000 - 5,375,235 = -175,235 $$ L'oncle aura donc une perte de $175,235$ en vendant toute sa production à ces prix. **Réponse finale :** Les prix unitaires sont $x=90$, $y=40$, $z=60$. En vendant toute la production à ces prix, l'oncle subira une perte de $175,235$.