1. Énoncé du problème : Montrer qu'une application $f : E \to F$ entre deux espaces vectoriels est linéaire. 2. Définition : Une application $f$ est linéaire si pour tous vecteurs $u, v \in E$ et tout scalaire $\lambda$, on a : $$f(u + v) = f(u) + f(v)$$ $$f(\lambda u) = \lambda f(u)$$ 3. Étapes pour prouver la linéarité : - Montrer que $f$ respecte l'addition : calculer $f(u+v)$ et vérifier que c'est égal à $f(u) + f(v)$. - Montrer que $f$ respecte la multiplication par un scalaire : calculer $f(\lambda u)$ et vérifier que c'est égal à $\lambda f(u)$. 4. Exemple d'application : Supposons $f(x) = Ax$ où $A$ est une matrice. Alors : $$f(u+v) = A(u+v) = Au + Av = f(u) + f(v)$$ $$f(\lambda u) = A(\lambda u) = \lambda Au = \lambda f(u)$$ 5. Conclusion : Si ces deux propriétés sont vérifiées, $f$ est une application linéaire.