1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux polynômes $P(X)$ et $Q(X)$ donnés, et plusieurs questions sur leurs racines, factorisations, et décompositions en éléments simples. --- ### Exercice 1 2. **Forme factorisable de $X^4 - 1$ sur $\mathbb{Q}[X]$ :** $$X^4 - 1 = (X^2 - 1)(X^2 + 1) = (X-1)(X+1)(X^2 + 1)$$ 3. **Forme canonique de la décomposition en éléments simples sur $\mathbb{R}$ de $\frac{P(X)}{X^4 - 1}$ :** Puisque $X^4 - 1$ se factorise en racines réelles simples $\pm 1$ et un polynôme quadratique irréductible $X^2 + 1$, la décomposition en éléments simples est : $$\frac{P(X)}{X^4 - 1} = \frac{A}{X-1} + \frac{B}{X+1} + \frac{CX + D}{X^2 + 1}$$ 4. **Calcul des coefficients $A$, $B$, $C$, $D$ :** Multiplier par $X^4 - 1$ et identifier les coefficients en développant et en égalant les deux membres permet de résoudre un système linéaire pour $A$, $B$, $C$, $D$. --- ### Exercice 2 5. **Polynômes donnés :** $$P(X) = 6X^4 - 55X^3 + 68X^2 - 35X + 6$$ $$Q(X) = X^3 - 9X^2 + 18X - 24$$ 6. **Montrer que $P$ et $Q$ sont racines de $P(X)$ :** Cela semble être une confusion, probablement il faut montrer que $P(X)$ et $Q(X)$ ont certaines racines communes ou que $Q(X)$ divise $P(X)$. 7. **Vérifier que 2 et 3 sont racines doubles de $P(X)$ :** Calculer $P(2)$, $P'(2)$, $P(3)$, $P'(3)$ et vérifier qu'ils sont nuls. 8. **Décomposer $P(X)$ en produit de facteurs irréductibles :** Puisque 2 et 3 sont racines doubles, on peut écrire : $$P(X) = (X-2)^2 (X-3)^2$$ 9. **Montrer que $Q(X)$ est un produit de facteurs irréductibles :** Factoriser $Q(X)$, par exemple par recherche de racines rationnelles. 10. **Calculer $P(X)Q(X) - 12X - 8$ :** Effectuer la multiplication et la soustraction. 11. **En déduire si $P(X)$ est produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ :** Puisque $P(X)$ se factorise en facteurs linéaires réels, il est produit de facteurs irréductibles. --- ### Fraction rationnelle $F(X) = \frac{P(X)}{Q(X)}$ 12. **Forme irréductible de $F(X)$ :** Simplifier la fraction en divisant par le PGCD de $P$ et $Q$. 13. **Forme canonique de la décomposition en éléments simples sur $\mathbb{R}$ de $F(X)$ :** Décomposer $F(X)$ en somme de fractions partielles selon la factorisation de $Q(X)$. 14. **Calcul des coefficients de cette décomposition :** Résoudre un système linéaire obtenu en multipliant par le dénominateur commun et en identifiant les coefficients. --- **Remarque :** Les calculs détaillés nécessitent des opérations algébriques précises (division polynomiale, dérivation, résolution de systèmes) qui peuvent être effectuées étape par étape selon la demande. **Réponse finale :** - $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + 1)$ - Décomposition en éléments simples de $\frac{P(X)}{X^4 - 1}$ : $$\frac{A}{X-1} + \frac{B}{X+1} + \frac{CX + D}{X^2 + 1}$$ - $P(X)$ a des racines doubles en 2 et 3, donc $$P(X) = (X-2)^2 (X-3)^2$$ - $Q(X)$ factorisé selon ses racines. - Décomposition partielle de $F(X)$ selon la factorisation de $Q(X)$.