### Exercice 1 1. Énoncé : Trouver les polynômes $P, Q \in \mathbb{C}[X]$ tels que $$Q^2(X) = X P^2(X)$$ $$P(0) P = P$$ $$P(X^2) = P(X)$$ $$P(X+1) = X P(X)$$ 2. Analysons la condition $P(0) P = P$. Si $P \neq 0$, alors $P(0) = 1$. 3. La condition $P(X^2) = P(X)$ suggère que $P$ est constant puisque $P$ est un polynôme et les seuls polynômes pour lesquels $P(X^2) = P(X)$ pour tout $X$ sont constants. Vérifions $P$ constant : Si $P = c$, alors $P(X+1) = c$ et $X P(X) = cX$. Égalité $c = cX$ impossible sauf si $c=0$. Donc $P=0$. 4. Pour $P=0$, alors $Q^2(X) = X 0 = 0$ donc $Q=0$. **Conclusion d'exercice 1 :** $P=0$ et $Q=0$. --- ### Exercice 2 1. Énoncé : Trouver $P, Q \in \mathbb{C}[X]$ tels que $$P(X^2) = X P(X)$$ $$P(X)^2 = X P(X+1)$$ $$P(X) - P(X-1) = X^2$$ $$ (X+3) P(X) = X P(X+1)$$ 2. Du 3., la différence de $P$ en $X$ et $X-1$ est $X^2$. Cela suggère que $P$ est de degré 3. 3. Posons $P(X) = aX^3 + bX^2 + cX + d$. Calculons $$P(X) - P(X-1) = a (X^3 - (X-1)^3) + b (X^2 - (X-1)^2) + c (X - (X-1)) = X^2$$ 4. Développons $$X^3 - (X-1)^3 = X^3 - (X^3 - 3 X^2 + 3 X -1) = 3 X^2 - 3 X + 1$$ $$X^2 - (X-1)^2 = X^2 - (X^2 - 2 X + 1) = 2 X - 1$$ $$X - (X-1) = 1$$ 5. Donc $$P(X) - P(X-1) = a (3 X^2 -3 X + 1) + b (2 X - 1) + c = X^2$$ 6. Identifions les coefficients : $$3 a =1$$ $$-3 a + 2 b =0$$ $$a - b + c =0$$ 7. D'où $$a = \frac{1}{3}$$ $$-1 + 2 b =0 \Rightarrow b = \frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + c =0 \Rightarrow c = \frac{1}{6}$$ 8. Ainsi $$P(X) = \frac{1}{3} X^3 + \frac{1}{2} X^2 + \frac{1}{6} X + d$$ 9. Utilisons $P(X^2) = X P(X)$ : $$P(X^2) = \frac{1}{3} X^6 + \frac{1}{2} X^4 + \frac{1}{6} X^2 + d$$ $$X P(X) = X \left( \frac{1}{3} X^3 + \frac{1}{2} X^2 + \frac{1}{6} X + d \right) = \frac{1}{3} X^4 + \frac{1}{2} X^3 + \frac{1}{6} X^2 + d X$$ 10. Ces deux expressions ne sont pas égales pour tous les $X$ sauf si $P=0$, ce qui n'est pas possible car la différence donne une identité quadratique $X^2$. 11. Donc pas de solution non triviale pour $P$, $Q$ dans cet exercice. Autrement dit, conditions contradictoires. --- ### Exercice 3 1. Trouver $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $$P - X P' = X$$ 2. Cette équation différentielle polynomiale peut se résoudre en cherchant $P$ degré $n$. 3. Si $P(X) = a_n X^n + \cdots + a_0$, alors $$P'(X) = n a_n X^{n-1} + \cdots$$ $$P - X P' = a_n X^n + \cdots + a_0 - X (n a_n X^{n-1} + \cdots) = a_n X^n + \cdots + a_0 - n a_n X^n - \cdots$$ 4. Pour que $P - X P' = X$, les termes de plus haut degré simplifient si $$a_n - n a_n = 0 \Rightarrow a_n (1 - n) = 0$$ 5. Donc $n=1$ i.e. $P$ est de degré 1. 6. Prenons $P(X) = a X + b$ alors $$P' = a$$ $$P - X P' = aX + b - a X = b = X$$ 7. Ce qui est impossible car $b$ est une constante alors que la droite égale $X$. 8. Tentons $P(X) = a X + b X^0$, essayons une autre forme 9. Résolvons comme équation différentielle : $P - X P' = X$ 10. Posons $Q= P$, alors $$Q - X Q' = X$$ 11. Réarrangeons : $$- X Q' + Q = X$$ 12. En forme standard : $$Q' - \frac{1}{X} Q = -1$$ 13. Résolvons par facteur intégrant $$\mu(X) = e^{-\int \frac{1}{X} dX} = e^{- \ln |X|} = \frac{1}{X}$$ 14. Multiplication par $\mu$ : $$\frac{1}{X} Q' - \frac{1}{X^2} Q = - \frac{1}{X}$$ $$\left( \frac{Q}{X} \right)' = - \frac{1}{X}$$ 15. Intégrons $$\frac{Q}{X} = - \ln |X| + C$$ 16. Donc $$Q = X (- \ln |X| + C)$$ 17. Ceci n'est pas un polynôme (présence de $\ln |X|$), donc pas de solution polynomiale. 18. Conclusion: Pas de polynôme $P$ satisfaisant $P - X P' = X$. --- ### Exercice 4 1. Trouver $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P'$ divise $P$. 2. C'est-à-dire, il existe $Q$ polynôme tel que $$P = P' Q$$ 3. Si $P$ est constant, $P' = 0$, division impossible. 4. Supposons $P(X) = a_n X^n + \cdots$, alors $$P' = n a_n X^{n-1} + \cdots$$ 5. Degré de $P'$ est $n-1$. Puisque $P = P' Q$, degré de $P$ vaut degré de $P' + $ degré de $Q$ 6. Donc $$n = (n -1) + d_Q \Rightarrow d_Q = 1$$ 7. Posons $Q(X) = b X + c$ 8. Exemple: si $P = P' Q$, alors $$P = P' (b X + c)$$ 9. Supposons $P = X^n$, alors $P' = n X^{n-1}$, essayons $$X^{n} = n X^{n-1} (b X + c) = n b X^n + n c X^{n-1}$$ 10. Égalité des degrés implique $n c = 0$ et: $$1 = n b \Rightarrow b = \frac{1}{n}, c=0$$ 11. Donc $$P = P' \times \frac{1}{n} X$$ 12. Le polynôme $P = a X^n$ vérifie la condition avec $Q = \frac{1}{n} X$. 13. Cela fonctionne aussi avec $a \ne 0$. **Conclusion :** Tous les polynômes de la forme $P = a X^n$ satisfont que $P'$ divise $P$ avec $$Q = \frac{1}{n} X$$ --- ### Exercice 5 Soit: $$P(X) = -5 X^3 + 4 X^2 + X^4 + 3 X + 9 = X^4 - 5 X^3 + 4 X^2 + 3 X + 9$$ 1. Montrer que 3 est racine double de $P$. 2. Calculons $P(3)$ : $$3^4 - 5 \times 3^3 + 4 \times 3^2 + 3 \times 3 + 9 = 81 - 135 + 36 + 9 + 9 = 0$$ 3. Calculons $P'(X) = 4 X^3 - 15 X^2 + 8 X + 3$ 4. Calculons $P'(3)$ : $$4 \times 27 - 15 \times 9 + 8 \times 3 + 3 = 108 - 135 + 24 + 3 = 0$$ 5. Donc 3 est une racine double. 6. Factorisons $P$ par $(X - 3)^2$ 7. Division de $P$ par $(X - 3)^2 = X^2 - 6 X + 9$ donne quotient $Q(X)$ 8. Divisons : $$P(X) = (X - 3)^2 Q(X)$$ 9. Par division polynomiale, on trouve $$Q(X) = X^2 - 2 X - 1$$ 10. Factorisons $Q(X)$ : $$X^2 - 2 X -1 = 0$$ 11. Racines de $Q$ par formule quadratique: $$X = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$ 12. Donc factorisation sur $\mathbb{R}$ : $$P(X) = (X - 3)^2 (X - (1 + \sqrt{2}))(X - (1 - \sqrt{2}))$$ 13. Racines dans $\mathbb{C}$ sont $3$ (double), $1 + \sqrt{2}$, et $1 - \sqrt{2}$. --- **Résumé :** - Ex 1: $P=0$, $Q=0$ - Ex 2: Pas de solution non triviale polynomiale - Ex 3: Pas de solution polynomiale - Ex 4: $P = a X^n$, $Q = \frac{1}{n} X$ - Ex 5: $P(X) = (X-3)^2 (X- (1 + \sqrt{2})) (X-(1 - \sqrt{2}))$