1. Énoncé : Trouver les polynômes $P$ et $Q$ dans $\mathbb{C}[X]$ vérifiant chaque équation donnée. 2. Analyse de la première équation : $$P(X^2) = X P(X).$$ Supposons $P$ de degré $n$. Le degré de $P(X^2)$ est $2n$, celui de $X P(X)$ est $n+1$. Pour que l'égalité soit vraie, $2n = n+1$ donc $n=1$. Posons $P(X) = aX + b$. Alors: $$P(X^2) = aX^2 + b, \quad XP(X) = X(aX + b) = aX^2 + bX.$$ En comparant, on obtient: $$aX^2 + b = aX^2 + bX \implies b = bX, \forall X,$$ ce qui implique $b=0$. Donc $P(X) = aX$ avec $a \in \mathbb{C}$. 3. Deuxième équation : $$P(X)^2 = X P(X+1).$$ Substituons $P(X) = aX$ trouvée avant: $$a^2 X^2 = X a (X + 1) = a X (X + 1).$$ Cela donne: $$a^2 X^2 = aX^2 + aX \Rightarrow (a^2 - a)X^2 = aX.$$ Pour que cela soit vrai pour tout $X$, on examine les coefficients: en coefficient de $X^2$ : $a^2 - a = 0 \Rightarrow a(a-1) = 0$, semble possible. Au coefficient de $X$ : $0 = a$, contradiction sauf si $a=0$ donc $P=0$. Donc $P=0$ ou $a=1$ (à tester). Testons $a=1$: $$LHS = X^2, RHS = X(X+1) = X^2 + X,$$ pas égal. Donc seule solution est $P=0$. 4. Troisième équation : $$P(X) - P(X-1) = X^2.$$ Supposons que $P$ est un polynôme de degré $n$. Le degré à gauche est au plus $n$, celui de droite est $2$, donc $n\geq 2$. Posons: $$P(X) = aX^2 + bX + c.$$ Calculons: $$P(X) - P(X-1) = aX^2 + bX + c - [a(X-1)^2 + b(X-1) + c]$$ $$= aX^2 + bX + c - a(X^2 - 2X + 1) - b(X-1) - c$$ $$= aX^2 + bX + c - aX^2 + 2aX - a - bX + b - c$$ $$= (aX^2 - aX^2) + (bX - bX + 2aX) + (c - c - a + b) = 2aX + (b - a).$$ On veut que cela égale $X^2$, donc: $$2aX + (b - a) = X^2,$$ ce qui n'est pas possible puisque les membres ne sont pas du même degré. Essayons un polynôme de degré 3 : $$P(X) = dX^3 + aX^2 + bX + c.$$ Alors $$P(X) - P(X-1) = dX^3 + aX^2 + bX + c - d(X-1)^3 - a(X-1)^2 - b(X-1) - c.$$ Calculons les termes: $$(X-1)^3 = X^3 - 3X^2 + 3X -1,$$ $$(X-1)^2 = X^2 - 2X +1,$$ Donc $$P(X) - P(X-1) = dX^3 + aX^2 + bX + c - d(X^3 - 3X^2 + 3X -1) - a(X^2 - 2X + 1) - b(X-1) - c$$ $$= dX^3 + aX^2 + bX + c - dX^3 + 3dX^2 - 3dX + d - aX^2 + 2aX - a - bX + b - c$$ $$= (dX^3 - dX^3) + (aX^2 - aX^2 + 3dX^2) + (bX - bX - 3dX + 2aX) + (c - c + d - a + b)$$ $$= 3dX^2 + (-3d + 2a)X + (d - a + b).$$ Cette expression est égale à $X^2$, donc: Coefficients: $$3d = 1 \Rightarrow d = \frac{1}{3},$$ $$-3d + 2a = 0 \Rightarrow -1 + 2a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2},$$ $$d - a + b = 0 \Rightarrow \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + b = 0 \Rightarrow b = \frac{1}{6}.$$ $c$ est libre. Ainsi, $$P(X) = \frac{1}{3}X^3 + \frac{1}{2}X^2 + \frac{1}{6}X + c.$$ 5. Quatrième équation : $$(X + 3)P(X) = X P(X+1).$$ Supposons $P$ de degré $n$. Degré gauche: $n+1$, degré droit: $n + 1$ donc les degrés correspondent. Posons $P(X) = a_n X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots$. Considérons le degré dominant: $$(X+3) a_n X^n \approx a_n X^{n+1},$$ $$X a_n (X+1)^n \approx a_n X (X^n + n X^{n-1} + \cdots) = a_n (X^{n+1} + n X^n + \cdots).$$ En égalant les coefficients dominants on a: $$(X+3)a_n X^n = a_n X^{n+1} + a_n n X^n + \cdots,$$ $$a_n X^{n+1} + 3 a_n X^n = a_n X^{n+1} + a_n n X^n + \cdots,$$ ce qui donne $$3 a_n X^n = a_n n X^n,$$ donc $3 = n$, donc $n=3$. On va chercher un $P$ de degré 3: $$P(X) = a X^3 + b X^2 + c X + d.$$ On calcule les deux membres: Gauche: $$(X+3) P(X) = (X+3)(a X^3 + b X^2 + c X + d) = a X^4 + b X^3 + c X^2 + d X + 3 a X^3 + 3 b X^2 + 3 c X + 3 d.$$ Donc, $$(X+3)P(X) = a X^4 + (b + 3 a) X^3 + (c + 3 b) X^2 + (d + 3 c) X + 3 d.$$ Droite: $$X P(X+1) = X [a (X+1)^3 + b (X+1)^2 + c (X+1) + d ].$$ Calculons les développements: $$(X+1)^3 = X^3 + 3 X^2 + 3 X + 1,$$ $$(X+1)^2 = X^2 + 2 X + 1.$$ Donc $$P(X+1) = a(X^3 + 3X^2 + 3X + 1) + b(X^2 + 2X + 1) + c(X+1) + d$$ $$= a X^3 + 3 a X^2 + 3 a X + a + b X^2 + 2 b X + b + c X + c + d.$$ Réorganisons: $$= a X^3 + (3 a + b) X^2 + (3 a + 2 b + c) X + (a + b + c + d).$$ Multipliant par $X$: $$X P(X+1) = a X^4 + (3 a + b) X^3 + (3 a + 2 b + c) X^2 + (a + b + c + d) X.$$ Égalisons les coefficients des puissances de $X$: Coefficient $X^4$: $$a = a,$$ Coefficient $X^3$: $$b + 3 a = 3 a + b,$$ Coefficient $X^2$: $$c + 3 b = 3 a + 2 b + c \Rightarrow c + 3 b = 3 a + 2 b + c \Rightarrow 3b = 3a + 2b \Rightarrow b = 3a,$$ Coefficient $X$: $$d + 3 c = a + b + c + d \Rightarrow d + 3 c = a + b + c + d \Rightarrow 3 c = a + b + c \Rightarrow 2 c = a + b,$$ Coefficient constante: $$3 d = 0 \Rightarrow d = 0.$$ Nous avons: $$b = 3 a,$$ $$2 c = a + b = a + 3 a = 4 a \Rightarrow c = 2 a,$$ $$d = 0.$$ Donc $$P(X) = a X^3 + 3 a X^2 + 2 a X.$$ On peut factoriser: $$P(X) = a X (X^2 + 3 X + 2) = a X (X+1)(X+2).$$ ** Résumé final:** - De (1) $P(X) = a X.$ - De (2) $P=0$. - De (3) $P(X) = \frac{1}{3}X^3 + \frac{1}{2}X^2 + \frac{1}{6}X + c,$ avec $c$ arbitraire. - De (4) $P(X) = a X (X+1)(X+2)$. **La question ne précise pas de contraindre $a$ ou $c$, donc ces paramètres sont libres dans $\mathbb{C}$.**