1) Énoncé du problème : Soient $A(x) = -x^2 + 8x - 7$ et $B(x) = x^2 - x + 3\sqrt{2}$. Calculer les degrés suivants : $\deg(A \times B)$, $\deg(B^2)$, et $\deg(A + B)$. Rappel : Le degré d'un polynôme est le plus grand exposant de $x$ avec un coefficient non nul. - $\deg(A) = 2$ car le terme dominant est $-x^2$. - $\deg(B) = 2$ car le terme dominant est $x^2$. Donc : $$\deg(A \times B) = \deg(A) + \deg(B) = 2 + 2 = 4$$ $$\deg(B^2) = 2 \times \deg(B) = 2 \times 2 = 4$$ $$\deg(A + B) = \max(\deg(A), \deg(B)) = 2$$ 2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a) $A(x)A(x) = 0$ équivaut à $A(x) = 0$ car un produit est nul si un facteur est nul. Résolvons $A(x) = -x^2 + 8x - 7 = 0$. On peut écrire : $$-x^2 + 8x - 7 = 0 \iff x^2 - 8x + 7 = 0$$ Calcul du discriminant : $$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 7 = 64 - 28 = 36$$ Racines : $$x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}$$ Donc : $$x_1 = \frac{8 - 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7$$ b) Résoudre $A(x) \geq 0$. Puisque $A(x) = -x^2 + 8x - 7 = -(x^2 - 8x + 7)$, et $x^2 - 8x + 7$ est une parabole ouverte vers le haut, ses racines sont $1$ et $7$. Donc $A(x) \geq 0$ équivaut à $-(x^2 - 8x + 7) \geq 0$ soit $x^2 - 8x + 7 \leq 0$. La parabole $x^2 - 8x + 7$ est négative ou nulle entre ses racines : $$x \in [1,7]$$ 3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $$\frac{A(x)}{B(x)} \leq 0$$ Étudions le signe de $A(x)$ et $B(x)$. - $A(x) = -x^2 + 8x - 7$ a ses racines en $1$ et $7$, et est positive entre ces racines. - $B(x) = x^2 - x + 3\sqrt{2}$. Calcul du discriminant de $B$ : $$\Delta_B = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 3\sqrt{2} = 1 - 12\sqrt{2} < 0$$ Donc $B(x)$ ne s'annule pas et est toujours du même signe. Comme le coefficient dominant est positif, $B(x) > 0$ pour tout $x$. Donc $\frac{A(x)}{B(x)} \leq 0$ équivaut à $A(x) \leq 0$. Or $A(x) \leq 0$ est l'extérieur de l'intervalle $[1,7]$ : $$x \in (-\infty, 1] \cup [7, +\infty)$$ 4) a) Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $\sqrt{A(x)}$ a-t-elle un sens ? Il faut que $A(x) \geq 0$, donc $x \in [1,7]$. b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $$\sqrt{A(x)} = x - 1$$ Le membre de droite doit être $\geq 0$, donc $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$. De plus, $x \in [1,7]$ pour que $\sqrt{A(x)}$ soit défini. Élevons au carré : $$A(x) = (x - 1)^2$$ Rappel : $A(x) = -x^2 + 8x - 7$. Donc : $$-x^2 + 8x - 7 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$$ Réarrangeons : $$-x^2 + 8x - 7 - x^2 + 2x - 1 = 0$$ $$-2x^2 + 10x - 8 = 0$$ Divisons par $-2$ : $$x^2 - 5x + 4 = 0$$ Calcul du discriminant : $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9$$ Racines : $$x = \frac{5 \pm 3}{2}$$ Donc : $$x_1 = 1, \quad x_2 = 4$$ Vérifions les contraintes $x \geq 1$ et $x \in [1,7]$ : les deux solutions conviennent. c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $$\sqrt{A(x)} \leq \sqrt{x - 1}$$ Les deux racines carrées sont définies si $A(x) \geq 0$ et $x - 1 \geq 0$, donc $x \in [1,7]$. Élevons au carré (en respectant les domaines) : $$A(x) \leq x - 1$$ Soit : $$-x^2 + 8x - 7 \leq x - 1$$ Réarrangeons : $$-x^2 + 8x - 7 - x + 1 \leq 0$$ $$-x^2 + 7x - 6 \leq 0$$ Multiplions par $-1$ (inversion du sens) : $$x^2 - 7x + 6 \geq 0$$ Factorisons : $$x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$$ Donc : $$x \in (-\infty, 1] \cup [6, +\infty)$$ En intersectant avec $[1,7]$, on obtient : $$x \in [1,1] \cup [6,7] = \{1\} \cup [6,7]$$ d) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : (1) $A(x) \geq 0$ donc $x \in [1,7]$. (2) $$\frac{A(x^{-1})}{x} > 0$$ Calculons $A(x^{-1})$ : $$A(x^{-1}) = -\left(x^{-1}\right)^2 + 8x^{-1} - 7 = -x^{-2} + 8x^{-1} - 7$$ Mettons sur un dénominateur commun $x^2$ : $$A(x^{-1}) = \frac{-1 + 8x - 7x^2}{x^2}$$ Donc : $$\frac{A(x^{-1})}{x} = \frac{-1 + 8x - 7x^2}{x^2} \times \frac{1}{x} = \frac{-1 + 8x - 7x^2}{x^3}$$ On veut : $$\frac{-1 + 8x - 7x^2}{x^3} > 0$$ Étudions le signe du numérateur $N(x) = -1 + 8x - 7x^2$. Réécrivons : $$N(x) = -7x^2 + 8x - 1$$ Calcul du discriminant : $$\Delta_N = 8^2 - 4 \times (-7) \times (-1) = 64 - 28 = 36$$ Racines : $$x = \frac{-8 \pm 6}{2 \times (-7)}$$ $$x_1 = \frac{-8 - 6}{-14} = \frac{-14}{-14} = 1$$ $$x_2 = \frac{-8 + 6}{-14} = \frac{-2}{-14} = \frac{1}{7}$$ Le coefficient devant $x^2$ est négatif, donc $N(x)$ est une parabole ouverte vers le bas. Le signe de $N(x)$ est positif entre ses racines : $$x \in \left(\frac{1}{7}, 1\right)$$ Le dénominateur $x^3$ est positif si $x > 0$, négatif si $x < 0$. Pour que la fraction soit positive, le numérateur et le dénominateur doivent avoir le même signe. Cas 1 : $x > 0$ et $N(x) > 0$ donc $x \in \left(\frac{1}{7}, 1\right)$. Cas 2 : $x < 0$ et $N(x) < 0$. Étudions le signe de $N(x)$ pour $x < \frac{1}{7}$ : - Pour $x < \frac{1}{7}$ ou $x > 1$, $N(x) < 0$. Donc pour $x < 0$, $N(x) < 0$ est vrai. Donc $x < 0$ convient. Récapitulons : $$\frac{A(x^{-1})}{x} > 0 \iff x < 0 \quad \text{ou} \quad x \in \left(\frac{1}{7}, 1\right)$$ Enfin, on doit intersecter avec $x \in [1,7]$ (condition (1)) : L'intersection est $x = 1$. Mais attention, $x=1$ annule le numérateur (car $N(1) = 0$), donc la fraction est nulle, pas strictement positive. Donc $x=1$ n'est pas dans la solution. Conclusion : L'ensemble solution est vide car $x \in [1,7]$ et $\frac{A(x^{-1})}{x} > 0$ implique $x=1$ exclu. Donc pas de solution. Résumé final : - $\deg(A \times B) = 4$ - $\deg(B^2) = 4$ - $\deg(A + B) = 2$ - Solutions de $A(x) = 0$ : $x = 1, 7$ - Solutions de $A(x) \geq 0$ : $x \in [1,7]$ - Solutions de $\frac{A(x)}{B(x)} \leq 0$ : $x \in (-\infty, 1] \cup [7, +\infty)$ - Domaine de $\sqrt{A(x)}$ : $x \in [1,7]$ - Solutions de $\sqrt{A(x)} = x - 1$ : $x = 1, 4$ - Solutions de $\sqrt{A(x)} \leq \sqrt{x - 1}$ : $x = 1$ ou $x \in [6,7]$ - Solutions de (1) $A(x) \geq 0$ et (2) $\frac{A(x^{-1})}{x} > 0$ : aucune.