1. Énoncé du problème : Trouver le polynôme $p(x)=ax^3 - 3x^2 + bx + c$ tel que $p(1)=0$, $p(-1)=-6$ et $p(0)=-2$. 2. Formule et conditions : Nous avons un polynôme de degré 3 avec coefficients inconnus $a$, $b$, et $c$. Les conditions données sont des valeurs du polynôme en certains points. 3. Appliquer les conditions : - Pour $p(1)=0$ : $$a(1)^3 - 3(1)^2 + b(1) + c = a - 3 + b + c = 0$$ - Pour $p(-1)=-6$ : $$a(-1)^3 - 3(-1)^2 + b(-1) + c = -a - 3 - b + c = -6$$ - Pour $p(0)=-2$ : $$a(0)^3 - 3(0)^2 + b(0) + c = c = -2$$ 4. Résoudre le système : - De $p(0)=-2$, on a directement $c = -2$. - Remplacer $c$ dans les deux autres équations : - $a - 3 + b - 2 = 0 \\ a + b - 5 = 0 \\ a + b = 5$ - $-a - 3 - b - 2 = -6 \\ -a - b - 5 = -6 \\ -a - b = -1 \\ a + b = 1$ 5. Contradiction apparente : Les deux équations $a + b = 5$ et $a + b = 1$ ne peuvent être vraies simultanément. Vérifions les calculs. 6. Recalculons $p(-1)$ : $$p(-1) = a(-1)^3 - 3(-1)^2 + b(-1) + c = -a - 3 - b + c$$ Avec $c = -2$, cela donne : $$-a - 3 - b - 2 = -6 \\ -a - b - 5 = -6 \\ -a - b = -1 \\ a + b = 1$$ 7. Donc le système est : $$\begin{cases} a + b = 5 \\ a + b = 1 \end{cases}$$ Ce qui est impossible. Il y a une erreur dans la première équation. 8. Recalculons $p(1)$ : $$p(1) = a(1)^3 - 3(1)^2 + b(1) + c = a - 3 + b + c$$ Avec $c = -2$, on a : $$a - 3 + b - 2 = 0 \\ a + b - 5 = 0 \\ a + b = 5$$ 9. Le système est donc contradictoire. Vérifions si les données sont compatibles. 10. Conclusion : Les conditions données ne permettent pas de déterminer un polynôme $p(x)$ de la forme $ax^3 - 3x^2 + bx + c$ satisfaisant simultanément $p(1)=0$, $p(-1)=-6$ et $p(0)=-2$ car elles conduisent à un système incompatible. Finalement, il n'existe pas de tels coefficients $a$, $b$, $c$ pour ce polynôme.