1. **Énoncé du problème** : Trouver les polynômes $P$ et $Q$ dans $\mathbb{C}[X]$ satisfaisant les conditions $$\begin{cases} Q^2(X) = X P^2(X) \\ P \circ P = P \\ P(X^2) = P(X) \\ P(X+1) = X P(X) \end{cases}$$ 2. **Analysons la première condition** : $Q^2(X) = X P^2(X)$ Cela implique que $Q(X)$ est proportionnel à $\sqrt{X} P(X)$ mais puisque $Q, P$ sont polynômes, cela impose que $P(X)$ doit être divisible par $X$, sinon $Q$ ne serait pas un polynôme. 3. **Supposons** $P(X) = X R(X)$ avec $R \in \mathbb{C}[X]$ Alors $Q^2(X) = X P^2(X) = X (X R(X))^2 = X^3 R^2(X)$. Donc $Q(X)^2 = X^3 R^2(X)$, ce qui nécessite que $Q(X) = X^{3/2} R(X)$, impossible en polynômes à moins que $Q(X) = 0$ et $P(X) = 0$. 4. **Analysons la deuxième condition** : $P \circ P = P$ Cette équation signifie que $P(P(X)) = P(X)$ pour tout $X$. Pour un polynôme, cela limite la forme de $P$. 5. **Analysons la troisième condition** : $P(X^2) = P(X)$ Donc $P$ est constant sur les valeurs $X$ et $X^2$. Ceci implique que $P$ est constante sur un ensemble infini, donc $P$ est une constante. 6. **Examinons la quatrième condition** : $P(X+1) = X P(X)$ Si $P$ est constante, soit $P(X) = c$, alors $c = (X) c$ pour tout $X$, donc $c=0$. 7. **Conclusion** : $P(X) = 0$, ainsi d'après (1), $Q^2(X) = 0$ donc $Q(X)=0$. **Réponse finale :** $P=0$ et $Q=0$ sont les seuls polynômes satisfaisant les quatre conditions.