1. Énoncé du problème : On considère la parabole d'équation $y = 2x^2 + 2x - 1{,}5$. 2. Trouver les coordonnées du sommet de la parabole. Le sommet d'une parabole $y = ax^2 + bx + c$ a pour abscisse $x_S = -\frac{b}{2a}$. Ici, $a = 2$, $b = 2$, donc $$x_S = -\frac{2}{2 \times 2} = -\frac{2}{4} = -0{,}5.$$ Pour trouver l'ordonnée $y_S$, on remplace $x = -0{,}5$ dans l'équation : $$y_S = 2(-0{,}5)^2 + 2(-0{,}5) - 1{,}5 = 2 \times 0{,}25 - 1 - 1{,}5 = 0{,}5 - 1 - 1{,}5 = -2.$$ Donc, le sommet est $S(-0{,}5; -2)$. 3. Déterminer l'équation de l'axe de symétrie. L'axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet, donc $$x = -0{,}5.$$ 4. Trouver les points d'intersection avec l'axe des ordonnées ($x=0$). On remplace $x=0$ dans l'équation : $$y = 2 \times 0^2 + 2 \times 0 - 1{,}5 = -1{,}5.$$ Le point d'intersection est donc $(0; -1{,}5)$. 5. Trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses ($y=0$). On résout l'équation $2x^2 + 2x - 1{,}5 = 0$. Calcul du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 2 \times (-1{,}5) = 4 + 12 = 16.$$ Les racines sont : $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 - 4}{4} = \frac{-6}{4} = -1{,}5,$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + 4}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5.$$ Les points d'intersection sont donc $(-1{,}5; 0)$ et $(0{,}5; 0)$. 6. Trouver les points d'intersection avec la droite $y = 2x - 1$. On résout le système : $$2x^2 + 2x - 1{,}5 = 2x - 1.$$ En simplifiant : $$2x^2 + 2x - 1{,}5 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 0{,}5 = 0.$$ Donc : $$2x^2 = 0{,}5 \Rightarrow x^2 = \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25.$$ D'où : $$x = \pm 0{,}5.$$ Pour $x = 0{,}5$, $$y = 2 \times 0{,}5 - 1 = 1 - 1 = 0.$$ Pour $x = -0{,}5$, $$y = 2 \times (-0{,}5) - 1 = -1 - 1 = -2.$$ Les points d'intersection sont donc $(0{,}5; 0)$ et $(-0{,}5; -2)$. Réponse finale : - Sommet : $S(-0{,}5; -2)$ - Axe de symétrie : $x = -0{,}5$ - Intersection avec l'axe des ordonnées : $(0; -1{,}5)$ - Intersections avec l'axe des abscisses : $(-1{,}5; 0)$ et $(0{,}5; 0)$ - Intersections avec la droite $y = 2x - 1$ : $(0{,}5; 0)$ et $(-0{,}5; -2)$