1. **Problème :** Comparer les valeurs de $a$ et $b$ dans plusieurs cas avec $x,y>0$. 2. **Rappel :** Pour comparer deux nombres, on peut soit calculer leur valeur approchée, soit utiliser des propriétés algébriques (exposants, racines, inégalités). --- **Exercice 1 :** 1) $a=\frac{4}{7} \approx 0.571$, $b=\frac{3}{5}=0.6$. Donc $a < b$. 2) $a=7\sqrt{3} = 7 \times 1.732 = 12.124$, $b=\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10 \sqrt{3} = 17.32$. Donc $a < b$. 3) $a=4\sqrt{5} - 6 = 4 \times 2.236 - 6 = 8.944 - 6 = 2.944$, $b=\sqrt{5} - 7 = 2.236 - 7 = -4.764$. Donc $a > b$. 4) $a=7 \times 2^{2020}$, $b=3 \times 2^{2022} = 3 \times 2^2 \times 2^{2020} = 12 \times 2^{2020}$. Donc $a < b$. 5) $a=(2x-1)(3y-5) = 6xy -10x -3y +5$, comparer à $b=6xy + 5$. Donc $a - b = -10x - 3y$. Comme $x,y>0$, $a < b$. 6) $a=x^2 + 9$, $b=6x$. Étudier $a - b = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \geq 0$. Donc $a \geq b$ avec égalité si $x=3$. 7) $a=\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$, $b=2$. Par inégalité de Cauchy-Schwarz, $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$. Donc $a \geq b$. 8) $a=\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1 \approx 1.732 + 1.414 -1 = 2.146$, $b=\sqrt{6} = 2.449$. Donc $a < b$. --- **Exercice 2 :** Avec $x \geq 4$, $y \geq 9$ : - $5x \leq 5 \times x$ donc $5x \geq 20$. - $-2x \leq -8$ (car $x \geq 4$). - $x+7 \geq 11$. - $x-3 \geq 1$. - $y^2 \geq 81$. - $\sqrt{y} \geq 3$. - $\frac{1}{y} \leq \frac{1}{9}$. - $xy \geq 4 \times 9 = 36$. - $x + y \geq 13$. - $\frac{1}{\sqrt{x}} \leq \frac{1}{2}$. - $-5y \leq -45$ (car $y \geq 9$). - $x^2 + 2 \geq 16 + 2 = 18$. --- **Exercice 3 :** Comparaison : 1) $a=2\sqrt{5} = 4.472$, $b=3\sqrt{2} = 4.242$, donc $a > b$. 2) $a=7$, $b=5\sqrt{2} = 7.071$, donc $a < b$. 3) $a=-6\sqrt{3} = -10.392$, $b=-4\sqrt{7} = -10.583$, donc $a > b$. 4) $a=\frac{1}{8 - 6\sqrt{3}}$, $b=\frac{1}{8 - 4\sqrt{7}}$. Calculs montrent $a < b$. 5) $a=\sqrt{7} = 2.645$, $b=\sqrt{6} + 1 = 3.449$, donc $a < b$. 6) $a=\frac{1}{5 + \sqrt{7}}$, $b=\frac{1}{6 + \sqrt{6}}$, donc $a > b$. 7) $a=\sqrt{7} + \sqrt{5} = 2.645 + 2.236 = 4.881$, $b=2\sqrt{3} = 3.464$, donc $a > b$. 8) $a + 5\sqrt{3} = b + 9$ implique $a - b = 9 - 5\sqrt{3} \approx 0.34 > 0$, donc $a > b$. --- **Exercice 4 :** Avec $3 \leq x \leq 5$, $-2 \leq y \leq -1$ : - $x + y \in [3 + (-2), 5 + (-1)] = [1,4]$. - $x - y \in [3 - (-1), 5 - (-2)] = [4,7]$. - $(x - 1)(y + 3)$ avec $x-1 \in [2,4]$, $y+3 \in [1,2]$, donc produit dans $[2 \times 1, 4 \times 2] = [2,8]$. - $\frac{x - y}{x}$ avec $x - y \in [4,7]$, $x \in [3,5]$, donc fraction dans $[\frac{4}{5}, \frac{7}{3}] \approx [0.8, 2.33]$. --- **Exercice 5 :** Avec $3 < a < 4$, $-2 < b < -1$ : 1) - $ab \in (3 \times -2, 4 \times -1) = (-8, -3)$. - $3a^2 - 1$ avec $a^2 \in (9,16)$ donc $3a^2 -1 \in (26,47)$. - $a - b^2$ avec $b^2 \in (1,4)$ donc $a - b^2 \in (3 - 4, 4 - 1) = (-1,3)$. 2) Montrer $5 < (a+b)(a-b) < 15$. Calcul : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. - $a^2 \in (9,16)$, $b^2 \in (1,4)$ donc $a^2 - b^2 \in (9-4, 16-1) = (5,15)$. --- **Exercice 6 :** Avec $3 \leq x \leq 5$, montrer $$\frac{2}{13} \leq \frac{3x - 5}{x^2 + 1} \leq 1$$ Étudier la fonction $f(x) = \frac{3x - 5}{x^2 + 1}$ sur $[3,5]$. Calcul des bornes : - $f(3) = \frac{9 - 5}{9 + 1} = \frac{4}{10} = 0.4 > \frac{2}{13} \approx 0.153$. - $f(5) = \frac{15 - 5}{25 + 1} = \frac{10}{26} \approx 0.384$. Étude de $f'(x)$ montre maximum en $x=1$ hors intervalle, donc $f$ est croissante sur $[3,5]$. Valeur maximale $f(5) < 1$, mais vérifier si $f(x) \leq 1$ toujours vrai. Pour $f(x) \leq 1$, $3x - 5 \leq x^2 + 1 \Rightarrow x^2 - 3x + 6 \geq 0$ toujours vrai. Donc inégalité vérifiée. --- **Exercice 7 :** Trouver encadrement de $x$ : 1) $1 \leq \frac{3x - 1}{2} \leq \frac{5}{2}$ Multiplions par 2 : $2 \leq 3x - 1 \leq 5$ Ajoutons 1 : $3 \leq 3x \leq 6$ Divisons par 3 : $1 \leq x \leq 2$ 2) $-1.3 \leq \frac{-13}{3x + 4} \leq -1$ Inverser les inégalités en multipliant par $(3x+4)$ en tenant compte du signe : - Étudier le signe de $3x + 4$. - Résoudre les inégalités en fonction du signe. Finalement, on trouve $-\frac{17}{3} \leq x \leq -\frac{13}{9}$. --- **Résumé :** Chaque exercice utilise des propriétés d'inégalités, racines, et fonctions pour comparer et encadrer des expressions.