1. Énonçons le problème : Effectuer une opération rationnelle complexe impliquant les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sur des expressions rationnelles avec un dénominateur commun $2ac$. 2. Rappelons la forme générale d'une expression rationnelle : $$\frac{P(x)}{Q(x)}$$ où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes et $Q(x) \neq 0$. 3. Considérons deux expressions rationnelles avec dénominateur $2ac$ : $$\frac{3b+4}{2ac} \quad \text{et} \quad \frac{5a-2c}{2ac}$$. 4. Effectuons les quatre opérations : - Addition : $$\frac{3b+4}{2ac} + \frac{5a-2c}{2ac} = \frac{(3b+4)+(5a-2c)}{2ac} = \frac{5a + 3b + 4 - 2c}{2ac}$$ - Soustraction : $$\frac{3b+4}{2ac} - \frac{5a-2c}{2ac} = \frac{(3b+4)-(5a-2c)}{2ac} = \frac{3b + 4 - 5a + 2c}{2ac} = \frac{-5a + 3b + 2c + 4}{2ac}$$ - Multiplication : $$\frac{3b+4}{2ac} \times \frac{5a-2c}{2ac} = \frac{(3b+4)(5a-2c)}{(2ac)^2} = \frac{15ab - 6bc + 20a - 8c}{4a^2 c^2}$$ - Division : $$\frac{3b+4}{2ac} \div \frac{5a-2c}{2ac} = \frac{3b+4}{2ac} \times \frac{2ac}{5a-2c} = \frac{3b+4}{5a-2c}$$ (ici, $2ac$ se simplifie). 5. En résumé, nous avons : - Addition : $$\frac{5a + 3b + 4 - 2c}{2ac}$$ - Soustraction : $$\frac{-5a + 3b + 2c + 4}{2ac}$$ - Multiplication : $$\frac{15ab - 6bc + 20a - 8c}{4a^2 c^2}$$ - Division : $$\frac{3b+4}{5a-2c}$$ Ces résultats montrent comment manipuler des expressions rationnelles avec un dénominateur commun $2ac$ en utilisant les quatre opérations.