1. **Énoncé du problème**: Calculer pour les vecteurs $A = (1, -2, 2)$ et $B = (2, 2, 0)$ les quantités suivantes: norme $||A||$, produit scalaire $A \cdot B$, et l'angle $\varphi(A,B)$ entre $A$ et $B$. 2. **Formules utilisées**: - Norme d'un vecteur $A = (a_1, a_2, a_3)$: $$||A|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$ - Produit scalaire de $A$ et $B = (b_1, b_2, b_3)$: $$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$ - Angle entre $A$ et $B$: $$\cos \varphi = \frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}$$ 3. **Calcul de $||A||$**: $$||A|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ 4. **Calcul de $A \cdot B$**: $$A \cdot B = 1 \times 2 + (-2) \times 2 + 2 \times 0 = 2 - 4 + 0 = -2$$ 5. **Calcul de $||B||$** (nécessaire pour l'angle): $$||B|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ 6. **Calcul de l'angle $\varphi$**: $$\cos \varphi = \frac{-2}{3 \times 2\sqrt{2}} = \frac{-2}{6\sqrt{2}} = -\frac{1}{3\sqrt{2}}$$ 7. **Valeur de $\varphi$**: $$\varphi = \arccos\left(-\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)$$ Ceci donne l'angle entre $A$ et $B$ en radians. **Réponse finale**: - $||A|| = 3$ - $A \cdot B = -2$ - $\varphi = \arccos\left(-\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)$ radians