1. **Énoncé du problème :** Compléter un tableau avec des nombres rationnels donnés en précisant leurs signes, leurs opposés, et s'ils sont des nombres décimaux (N.D) ou non décimaux (N.N.D). Puis vérifier l'égalité entre deux paires de fractions. 2. **Complétons les signes :** - $\frac{1}{2}$ est positif car numérateur et dénominateur sont positifs. - $-\frac{3}{5}$ est négatif car le numérateur est négatif. - $-\frac{1}{-3}$ simplifié est $\frac{1}{3}$ positif car deux signes négatifs se simplifient. - $-\frac{4}{-6}$ simplifié est $\frac{4}{6}$ positif pour la même raison. 3. **Trouvons les opposés :** L'opposé d'un nombre rationnel $\frac{a}{b}$ est $-\frac{a}{b}$. - Opposé de $\frac{1}{2}$ est $-\frac{1}{2}$. - Opposé de $-\frac{3}{5}$ est $\frac{3}{5}$. - Opposé de $\frac{1}{3}$ est $-\frac{1}{3}$. - Opposé de $\frac{4}{6}$ (qui peut être simplifié en $\frac{2}{3}$) est $-\frac{2}{3}$. 4. **Nombres Décimaux ou Non Décimaux ?** Un nombre est décimal si son dénominateur, après simplification, est une puissance de 10 (ex: 10,100). - $\frac{1}{2} = 0.5$ (dénominateur 2 ne correspond pas à une puissance de 10, mais 0.5 est un nombre décimal fini donc N.D) - $-\frac{3}{5} = -0.6$ (idem, N.D) - $\frac{1}{3} \approx 0.333...$ nombre décimal périodique donc N.N.D - $\frac{2}{3} \approx 0.666...$ périodique, N.N.D 5. **Vérifions l'égalité des fractions :** - $\frac{7}{5}$ et $\frac{20}{15}$ peuvent être comparés en simplifiant ou en trouvant un dénominateur commun : $$\frac{7}{5} = \frac{7 \times 3}{5 \times 3} = \frac{21}{15} \neq \frac{20}{15}$$ Donc elles ne sont pas égales. - $-\frac{3}{4}$ et $\frac{36}{-48}$ : Simplifions $\frac{36}{-48} = -\frac{36}{48} = -\frac{3}{4}$ après division par 12. Donc $-\frac{3}{4}$ et $\frac{36}{-48}$ sont égaux. **Réponse finale du tableau :** | Nombres rationnels | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{2}{3}$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | Leurs signes | + | - | + | + | | Leurs opposés | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{5}$ | $-\frac{1}{3}$ | $-\frac{2}{3}$ | | N.D ou N.N.D ? | N.D | N.D | N.N.D | N.N.D | **Égalités :** - $\frac{7}{5} \neq \frac{20}{15}$ - $-\frac{3}{4} = \frac{36}{-48}$