1. Énonçons le problème : Nous devons remplir les cases avec les nombres de 1 à 20, chacun utilisé une seule fois, pour que les expressions suivantes soient équivalentes en utilisant les lois des exposants. 2. Rappel des lois des exposants utilisées : - $(a^m)^n = a^{m \times n}$ - $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ - $a^m \times a^n = a^{m+n}$ 3. Pour la première expression : $$(2^{\Box})^{\Box} = (2^{\Box})^{\Box} / (2^{\Box})^{\Box} = 2^{\Box} \times 2^{\Box} = 2^{\Box} / 2^{\Box}$$ 4. Appliquons les lois : - $(2^{a})^{b} = 2^{a \times b}$ - $(2^{c})^{d} / (2^{e})^{f} = 2^{c \times d - e \times f}$ - $2^{g} \times 2^{h} = 2^{g + h}$ - $2^{i} / 2^{j} = 2^{i - j}$ 5. Pour que toutes ces expressions soient égales, les exposants doivent être égaux : $$a \times b = c \times d - e \times f = g + h = i - j$$ 6. Le défi est de choisir les nombres de 1 à 20 pour $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$ sans répétition, respectant cette égalité. 7. De même pour les deux autres expressions, on applique la même logique. 8. Cette activité est un casse-tête d'assignation numérique respectant les lois des exposants. 9. En résumé, chaque expression est une égalité d'exposants : $$ (2^{m})^{n} = 2^{m \times n} = 2^{p} \times 2^{q} = 2^{p+q} = \frac{2^{r}}{2^{s}} = 2^{r-s}$$ 10. Il faut donc trouver des entiers distincts de 1 à 20 tels que : $$m \times n = p + q = r - s$$ 11. Exemple simple : - $(2^{2})^{3} = 2^{6}$ - $2^{4} \times 2^{2} = 2^{6}$ - $\frac{2^{8}}{2^{2}} = 2^{6}$ 12. Ici, $2,3,4,2,8,2$ sont utilisés, mais il faut vérifier la non-répétition et compléter pour toutes les expressions. 13. Cette activité demande un travail de recherche et d'essais pour placer les nombres correctement. 14. Conclusion : Les lois des exposants permettent d'exprimer toutes ces formes de manière équivalente en choisissant judicieusement les exposants.