1. **Énoncé du problème :** Montrer que la loi * définie sur $\mathbb{Z}$ par $x * y = 2x - y$ n'est pas associative et déterminer si elle est commutative. 2. **Rappel des définitions :** - Une loi * est associative si pour tous $x,y,z \in \mathbb{Z}$, on a $x * (y * z) = (x * y) * z$. - Une loi * est commutative si pour tous $x,y \in \mathbb{Z}$, on a $x * y = y * x$. 3. **Calcul de $x * (y * z)$ :** D'abord calculons $y * z$ : $$y * z = 2y - z$$ Ensuite : $$x * (y * z) = x * (2y - z) = 2x - (2y - z) = 2x - 2y + z$$ 4. **Calcul de $(x * y) * z$ :** D'abord calculons $x * y$ : $$x * y = 2x - y$$ Ensuite : $$ (x * y) * z = (2x - y) * z = 2(2x - y) - z = 4x - 2y - z$$ 5. **Comparaison pour l'associativité :** On compare : $$x * (y * z) = 2x - 2y + z$$ $$ (x * y) * z = 4x - 2y - z$$ Ces deux expressions ne sont pas égales en général, donc la loi * **n'est pas associative**. 6. **Vérification de la commutativité :** Calculons $x * y$ et $y * x$ : $$x * y = 2x - y$$ $$y * x = 2y - x$$ En général, $2x - y \neq 2y - x$, donc la loi * **n'est pas commutative**. **Réponse finale :** La loi $*$ définie par $x * y = 2x - y$ n'est ni associative ni commutative.