1. Énonçons le problème : trouver la fonction inverse de $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + x - 2$. 2. La fonction $f$ est quadratique et non bijective sur $\mathbb{R}$, donc elle n'a pas d'inverse global. 3. Pour une fonction inverse, on doit exprimer $x$ en fonction de $y$, en posant $y = f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + x - 2$. 4. Réécrivons : $$y = -\frac{1}{3}x^2 + x - 2$$ $$0 = -\frac{1}{3}x^2 + x - 2 - y$$ $$0 = -\frac{1}{3}x^2 + x - (2 + y)$$ 5. Multiplions par $-3$ pour éliminer la fraction : $$0 = x^2 - 3x + 3(2 + y)$$ $$0 = x^2 - 3x + 6 + 3y$$ 6. C'est une équation quadratique en $x$ : $$x^2 - 3x + (6 + 3y) = 0$$ 7. Utilisons la formule du discriminant $\Delta$ : $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (6 + 3y) = 9 - 4(6 + 3y) = 9 - 24 - 12y = -15 - 12y$$ 8. Pour que $x$ soit réel, $\Delta \geq 0$, donc $$-15 - 12y \geq 0 \Rightarrow y \leq -\frac{15}{12} = -1.25$$ 9. Si cette condition est respectée, les deux solutions en $x$ sont : $$x = \frac{3 \pm \sqrt{-15 - 12y}}{2}$$ 10. Ainsi, la fonction inverse est définie par $$f^{-1}(y) = \frac{3 \pm \sqrt{-15 - 12y}}{2}, \quad y \leq -1.25$$ 11. Comme la fonction $f$ n'est pas bijective, on peut restreindre son domaine pour avoir une inverse unique (par exemple sur un intervalle où $f$ est monotone).