1. Résoudre l'inéquation $2\sqrt{x}(x-7) < 29 - 2x$ dans $\mathbb{R}$. - Définir le domaine : $x \geq 0$ car $\sqrt{x}$ est défini pour $x \geq 0$. - Poser $f(x) = 2\sqrt{x}(x-7)$ et $g(x) = 29 - 2x$. - Inéquation : $2\sqrt{x}(x-7) < 29 - 2x$. - Introduire $t = \sqrt{x} \geq 0$, alors $x = t^2$. - L'inéquation devient $2t(t^2 - 7) < 29 - 2t^2$. - Simplifier : $2t^3 - 14t < 29 - 2t^2$. - Réarranger : $2t^3 - 14t + 2t^2 - 29 < 0$. - Regrouper : $2t^3 + 2t^2 - 14t - 29 < 0$. - Chercher les racines possibles par essai (ex. $t=3$) : $2(27) + 2(9) - 14(3) - 29 = 54 + 18 - 42 - 29 = 1 > 0$. - $t=2$ : $16 + 8 - 28 - 29 = -33 < 0$. - Entre $t=2$ et $t=3$, la fonction passe de négatif à positif. Trouvons racine approximative. - Par analyse, le polynôme s'annule une fois pour $t > 0$, solution approximée $t \approx 2.9$. - L'inéquation est satisfaite pour $0 \leq t < 2.9$. - On doit vérifier la condition initiale $x \geq 0$, donc $x = t^2 < (2.9)^2 = 8.41$. 2. Résoudre $|2x - 1| + |2x + 1| + |x| \geq 4$. - Étudier les points critiques où les expressions changent de signe : $x = -\frac{1}{2}$, $x = \frac{1}{2}$, et $x=0$. - Pour $x \geq \frac{1}{2}$ : $2x - 1 \geq 0$, $2x + 1 \geq 0$, $x \geq 0$. Expression = $(2x-1) + (2x+1) + x = 5x$. $$5x \geq 4 \Rightarrow x \geq \frac{4}{5} = 0.8$$ - Pour $0 \leq x < \frac{1}{2}$ : $2x - 1 < 0$, $2x + 1 > 0$, $x > 0$. Expression = $-(2x-1) + (2x+1) + x = -2x +1 +2x +1 + x = x + 2$. $$x + 2 \geq 4 \Rightarrow x \geq 2$$ qui est impossible ici. - Pour $-\frac{1}{2} \leq x < 0$ : $2x - 1 < 0$, $2x + 1 \geq 0$, $x < 0$. Expression = $-(2x-1) + (2x+1) - x = -2x +1 + 2x +1 - x = 2 - x$. $$2 - x \geq 4 \Rightarrow -x \geq 2 \Rightarrow x \leq -2$$ (pas dans cet intervalle). - Pour $x < -\frac{1}{2}$ : $2x - 1 < 0$, $2x + 1 < 0$, $x < 0$. Expression = $-(2x -1) - (2x +1) - x = -2x +1 - 2x -1 - x = -5x$. $$-5x \geq 4 \Rightarrow x \leq -\frac{4}{5} = -0.8$$ - Solution globale : $x \in (-\infty, -0.8] \cup [0.8, +\infty)$. 3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $(p_n, q_n) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}$ tels que $$(2 + \sqrt{3})^n = p_n + \sqrt{3} q_n$$ et $$p_n^2 - 1 = 3 q_n^2.$$ - On effectue une preuve par récurrence. 1. Pour $n=0$ : $$(2 + \sqrt{3})^0 = 1 = 1 + \sqrt{3} \times 0,$$ donc $p_0=1$, $q_0=0$. 2. Supposons vrai pour $n$, c'est-à-dire $$(2 + \sqrt{3})^n = p_n + \sqrt{3} q_n$$ avec $p_n^2 - 3 q_n^2 = 1$. 3. Pour $n+1$ : $$(2 + \sqrt{3})^{n+1} = (2 + \sqrt{3})(p_n + \sqrt{3} q_n) = 2 p_n + 3 q_n + \sqrt{3} (p_n + 2 q_n).$$ Posons donc $$p_{n+1} = 2 p_n + 3 q_n,$$ $$q_{n+1} = p_n + 2 q_n.$$ 4. Vérifions la relation : $$p_{n+1}^2 - 3 q_{n+1}^2 = (2 p_n + 3 q_n)^2 - 3 (p_n + 2 q_n)^2.$$ En développant et simplifiant on retrouve $1$ grâce à l'hypothèse de récurrence. 4. Étudier la proposition $(p)$ : $$\exists x \in [1, 2] \, \forall y \in \left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right] : xy - x + 2y - 1 \neq 0.$$ a) Déterminer la proposition. - Étudions $f(x,y) = xy - x + 2y - 1$. - Réarranger : $$f(x,y) = y(x + 2) - (x + 1).$$ - Fixons $x \in [1,2]$, étudions $f(x,y)$ en fonction de $y$ dans $[1/2, 3/4]$. - $f(x,y)$ est affine en $y$, donc atteint ses extrêmes aux bornes. - Calculer aux bornes : $$f(x, \tfrac{1}{2}) = \frac{1}{2}(x+2) - (x+1) = \frac{x}{2} + 1 - x - 1 = -\frac{x}{2},$$ $$f(x, \frac{3}{4}) = \frac{3}{4}(x+2) - (x+1) = \frac{3x}{4} + \frac{3}{2} - x - 1 = -\frac{x}{4} + \frac{1}{2}.$$ - Pour que $f(x,y) \neq 0$ pour tout $y$ dans l'intervalle, $0$ ne doit pas se trouver entre ces valeurs. - L'intervalle des valeurs est entre $-rac{x}{2}$ et $-\frac{x}{4} + \frac{1}{2}$. - La condition pour que $f(x,y) \neq 0$ est ou que les deux bornes soient strictement positives, ou strictement négatives. - Calculons pour $x \in [1,2]$ : - Pour $x=1$, $$f(1, \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} < 0,$$ $$f(1, \frac{3}{4}) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} >0,$$ donc l'intervalle contient zéro. - Pour $x=2$, $$f(2, \frac{1}{2}) = -1 < 0,$$ $$f(2, \frac{3}{4}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0.$$ - Ainsi, pour $x=2$, $0$ est atteint. - Conclusion : il n'existe pas de $x$ dans $[1,2]$ tel que $f(x,y) \neq 0$ pour tout $y$ dans $[1/2,3/4]$. b) Valeur de vérité de $(p)$ : - La proposition $(p)$ est fausse. Réponses finales : - Solution de la première inéquation : $x \in [0, 8.41)$ approximativement. - Solution de la deuxième inéquation : $x \in (-\infty, -0.8] \cup [0.8, +\infty)$. - Existence des $(p_n, q_n)$ démontrée avec relation de Pell. - Proposition $(p)$ est fausse.