1. Énoncer le problème : Nous devons déterminer la vérité de la proposition $\forall x \in \mathbb{R}, 3x^2 - 7x + 4 \leq 0$. 2. Calculer le discriminant $\Delta$ pour le polynôme $3x^2 - 7x + 4$. $$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \times 3 \times 4 = 49 - 48 = 1$$ 3. Puisque $\Delta > 0$, le polynôme a deux racines réelles données par: $$x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \times 3} = \frac{7 - 1}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \times 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ 4. Comme $a = 3 > 0$, la parabole est ouverte vers le haut. 5. Le polynôme est négatif ou nul entre ses racines, donc pour $x \in [1, \frac{4}{3}]$, on a $3x^2 - 7x + 4 \leq 0$. 6. La proposition $\forall x \in \mathbb{R}, 3x^2 - 7x + 4 \leq 0$ est fausse car elle ne tient pas pour $x$ en dehors de $[1, \frac{4}{3}]$. 7. Conclusion : La vérité de la proposition est FAUSSE.