1. **Énoncé du problème** : Résoudre graphiquement l'inéquation $$f(x) \leq g(x)$$ où $$f(x) = -\frac{x^3}{27}$$ (courbe bleue) et $$g(x) = \frac{x}{2} - 5$$ (droite rouge). 2. **Comprendre les fonctions** : - $$f(x)$$ est une fonction cubique décroissante. - $$g(x)$$ est une fonction affine croissante. 3. **Trouver les points d'intersection** : On cherche les valeurs de $$x$$ telles que $$f(x) = g(x)$$. $$-\frac{x^3}{27} = \frac{x}{2} - 5$$ 4. **Mettre tous les termes d'un côté** : $$-\frac{x^3}{27} - \frac{x}{2} + 5 = 0$$ 5. **Multiplier par 54 (le PPCM de 27 et 2) pour éliminer les dénominateurs** : $$-2x^3 - 27x + 270 = 0$$ 6. **Résoudre l'équation cubique** : Cherchons des racines entières possibles parmi les diviseurs de 270 : $$\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm9, \pm10, \pm15, \pm18, \pm27, \pm30, \pm45, \pm54, \pm90, \pm135, \pm270$$. Testons $$x=5$$ : $$-2(5)^3 - 27(5) + 270 = -2(125) - 135 + 270 = -250 - 135 + 270 = -115 \neq 0$$ Testons $$x=3$$ : $$-2(27) - 81 + 270 = -54 - 81 + 270 = 135 \neq 0$$ Testons $$x=6$$ : $$-2(216) - 162 + 270 = -432 - 162 + 270 = -324 \neq 0$$ Testons $$x= -3$$ : $$-2(-27) - (-81) + 270 = 54 + 81 + 270 = 405 \neq 0$$ Testons $$x= 9$$ : $$-2(729) - 243 + 270 = -1458 - 243 + 270 = -1431 \neq 0$$ Testons $$x= 10$$ : $$-2(1000) - 270 + 270 = -2000 - 270 + 270 = -2000 \neq 0$$ Testons $$x= 15$$ : $$-2(3375) - 405 + 270 = -6750 - 405 + 270 = -6885 \neq 0$$ Testons $$x= 1$$ : $$-2(1) - 27 + 270 = -2 - 27 + 270 = 241 \neq 0$$ Testons $$x= -5$$ : $$-2(-125) - (-135) + 270 = 250 + 135 + 270 = 655 \neq 0$$ Testons $$x= 0$$ : $$0 - 0 + 270 = 270 \neq 0$$ Aucune racine entière simple. On peut approximer graphiquement ou utiliser une méthode numérique. 7. **Approximation graphique** : Les courbes se croisent environ en $$x \approx 3.5$$ et $$x \approx 7$$ (estimation visuelle). 8. **Étudier le signe de $$f(x) - g(x)$$** : - Pour $$x$$ très petit (exemple $$x = -10$$), calculons : $$f(-10) = -\frac{(-10)^3}{27} = -\frac{-1000}{27} = \frac{1000}{27} > 0$$ $$g(-10) = \frac{-10}{2} - 5 = -5 - 5 = -10$$ Donc $$f(-10) - g(-10) > 0$$. - Pour $$x = 0$$ : $$f(0) = 0$$ $$g(0) = -5$$ Donc $$f(0) - g(0) = 5 > 0$$. - Pour $$x = 5$$ : $$f(5) = -\frac{125}{27} \approx -4.63$$ $$g(5) = \frac{5}{2} - 5 = 2.5 - 5 = -2.5$$ Donc $$f(5) - g(5) \approx -4.63 - (-2.5) = -2.13 < 0$$. - Pour $$x = 10$$ : $$f(10) = -\frac{1000}{27} \approx -37.04$$ $$g(10) = 5 - 5 = 0$$ Donc $$f(10) - g(10) \approx -37.04 < 0$$. 9. **Conclusion** : L'inéquation $$f(x) \leq g(x)$$ est satisfaite pour les $$x$$ où $$f(x) - g(x) \leq 0$$. D'après les signes, cela correspond à l'intervalle environ $$[3.5, +\infty)$$. **Réponse finale** : $$\boxed{\{x \in \mathbb{R} \mid x \gtrsim 3.5\}}$$