1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour $x \geq -2$, $y \leq 4$ et $5 \leq 8$, les inégalités suivantes sont vraies : 1. $5y - 18 \leq 2$ 2. $-2x + 31 \leq 11$ 3. $3x + 7 \geq 1$ 4. $3x + 2 \geq 4$ 2. **Formules et règles importantes :** Pour démontrer ces inégalités, on utilise les bornes données sur $x$ et $y$ et on applique les propriétés des inégalités : - Si $a \leq b$ alors $ca \leq cb$ si $c \geq 0$, sinon l'inégalité s'inverse. - On remplace $x$ ou $y$ par leurs bornes extrêmes pour vérifier les inégalités. 3. **Démonstration :** **1. Montrer que $5y - 18 \leq 2$ sachant que $y \leq 4$ :** - Calculons la valeur maximale de $5y - 18$ en prenant $y$ à sa valeur maximale $4$ : $$5 \times 4 - 18 = 20 - 18 = 2$$ - Donc $5y - 18 \leq 2$ est vrai. **2. Montrer que $-2x + 31 \leq 11$ sachant que $x \geq -2$ :** - Calculons la valeur maximale de $-2x + 31$ en prenant $x$ à sa valeur minimale $-2$ (car coefficient de $x$ est négatif, l'expression décroît quand $x$ augmente) : $$-2 \times (-2) + 31 = 4 + 31 = 35$$ - Mais $35 \leq 11$ est faux, donc il faut vérifier si l'énoncé est correct. Peut-être une faute de frappe dans l'énoncé. **3. Montrer que $3x + 7 \geq 1$ sachant que $x \geq -2$ :** - Calculons la valeur minimale de $3x + 7$ en prenant $x$ à sa valeur minimale $-2$ : $$3 \times (-2) + 7 = -6 + 7 = 1$$ - Donc $3x + 7 \geq 1$ est vrai. **4. Montrer que $3x + 2 \geq 4$ sachant que $x \geq -2$ :** - Calculons la valeur minimale de $3x + 2$ en prenant $x$ à sa valeur minimale $-2$ : $$3 \times (-2) + 2 = -6 + 2 = -4$$ - $-4 \geq 4$ est faux, donc cette inégalité n'est pas toujours vraie avec $x \geq -2$. 4. **Conclusion :** - Les inégalités 1 et 3 sont vraies avec les bornes données. - L'inégalité 2 semble incorrecte ou mal énoncée. - L'inégalité 4 est fausse avec $x \geq -2$.