1. **Énoncé du problème :** Montrer que si $1 \leq x - y \leq 4$ et $5 \leq x + y \leq 7$, alors $5 \leq x^2 - y^2 \leq 28$. 2. **Formule utilisée :** On utilise la différence de carrés : $$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$ 3. **Analyse des contraintes :** On sait que $x - y$ est compris entre 1 et 4, et $x + y$ est compris entre 5 et 7. 4. **Calcul des bornes de $x^2 - y^2$ :** Puisque $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, et que les deux facteurs sont positifs, - La valeur minimale de $x^2 - y^2$ est obtenue en multipliant les plus petites valeurs : $$1 \times 5 = 5$$ - La valeur maximale de $x^2 - y^2$ est obtenue en multipliant les plus grandes valeurs : $$4 \times 7 = 28$$ 5. **Conclusion :** On a donc bien : $$5 \leq x^2 - y^2 \leq 28$$ Ce qui conclut la démonstration.