1. Énonçons le problème : Montrer que $ (x + y)^2 \leq 2(x^2 + y^2) $ pour tous réels $x$ et $y$. 2. Utilisons la formule du carré d'une somme : $$ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$ 3. Nous devons prouver que : $$ x^2 + 2xy + y^2 \leq 2x^2 + 2y^2 $$ 4. Réarrangeons l'inégalité : $$ x^2 + 2xy + y^2 - 2x^2 - 2y^2 \leq 0 $$ $$ -x^2 + 2xy - y^2 \leq 0 $$ 5. Factorisons : $$ -(x^2 - 2xy + y^2) \leq 0 $$ $$ -(x - y)^2 \leq 0 $$ 6. Comme $ (x - y)^2 \geq 0 $ pour tous $x,y$, alors $$ -(x - y)^2 \leq 0 $$ est toujours vrai. 7. Conclusion : L'inégalité $ (x + y)^2 \leq 2(x^2 + y^2) $ est démontrée car elle équivaut à $ -(x - y)^2 \leq 0 $, ce qui est vrai pour tous réels $x$ et $y$. Cette inégalité est une forme de l'inégalité de Cauchy-Schwarz ou peut être vue comme une conséquence de la convexité du carré.